จาค็อบ แฮร์มันน์: ศิษย์ของแบร์นูลลีผู้ปูทางกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์
วันนี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ | 11 กรกฎาคม ค.ศ. 1733
บทนำ: นักคณิตศาสตร์ในเงาของยักษ์ใหญ่
จาค็อบ แฮร์มันน์ (Jakob Hermann, 1678–1733) เกิดที่เมืองบาเซิล ประเทศสวิตเซอร์แลนด์ และเป็นหนึ่งในศิษย์คนแรก ๆ ของโยฮันน์ แบร์นูลลี ในยุคที่วงการคณิตศาสตร์ยุโรปหมุนรอบตระกูลแบร์นูลลีและการแข่งขันกับสำนักของนิวตัน แฮร์มันน์อาจไม่โด่งดังเท่าครูของเขา แต่เขาคือคนที่นำแคลคูลัสของไลบ์นิซไปประยุกต์กับกลศาสตร์ท้องฟ้าอย่างเป็นระบบเป็นคนแรก ๆ และเสียชีวิตเมื่อวันที่ 11 กรกฎาคม ค.ศ. 1733 ที่บาเซิล
Phoronomia: กลศาสตร์บนกระดาษสมการ
ผลงานสำคัญที่สุดของแฮร์มันน์คือ Phoronomia, sive de viribus et motibus corporum solidorum et fluidorum libri duo (ค.ศ. 1716) ซึ่งเป็นความพยายามอธิบายกลศาสตร์ของแข็งและของไหลด้วยแคลคูลัสอย่างเป็นระบบ ต่างจาก Principia ของนิวตันที่ใช้เรขาคณิตสังเคราะห์เป็นหลัก แฮร์มันน์ใช้สมการเชิงอนุพันธ์อธิบายการเคลื่อนที่โดยตรง ถือเป็นก้าวสำคัญสู่สิ่งที่ต่อมากลายเป็น “กลศาสตร์เชิงวิเคราะห์” (analytical mechanics) ที่ออยเลอร์และลากรานจ์พัฒนาต่อในภายหลัง
ปัญหาแรงศูนย์กลางและ “ทฤษฎีบทของแฮร์มันน์”
ในปัญหาการเคลื่อนที่ภายใต้แรงศูนย์กลาง (central force problem) แฮร์มันน์เป็นหนึ่งในผู้ค้นพบความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงเวกเตอร์ความเร็ว โมเมนตัมเชิงมุม และทิศทางของแรง ซึ่งปัจจุบันเรียกว่า เวกเตอร์ Laplace–Runge–Lenz สำหรับการเคลื่อนที่ภายใต้แรงโน้มถ่วงแบบผกผันกำลังสอง เวกเตอร์นี้นิยามเป็น
$$ \mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L} – mk,\hat{\mathbf{r}} $$
โดย $\mathbf{p}$ คือโมเมนตัมเชิงเส้น $\mathbf{L}$ คือโมเมนตัมเชิงมุม $\hat{\mathbf{r}}$ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในแนวรัศมี และ $k$ คือค่าคงที่ของแรง คุณสมบัติพิเศษของเวกเตอร์นี้คือมันคงที่ตลอดการเคลื่อนที่ (conserved quantity) และชี้ไปยังจุดใกล้ที่สุดของวงโคจร (perihelion) เสมอ — เป็นปริมาณอนุรักษ์ที่ “ซ่อนอยู่” นอกเหนือจากพลังงานและโมเมนตัมเชิงมุม และมีบทบาทสำคัญมากในกลศาสตร์ควอนตัมยุคต่อมา (การไขปัญหาอะตอมไฮโดรเจนของเพาลี)
แฮร์มันน์นำเสนอผลลัพธ์บางส่วนของแนวคิดนี้ในจดหมายถึงโยฮันน์ แบร์นูลลี ราวปี ค.ศ. 1710 ก่อนที่นิวตันจะตีพิมพ์ Principia ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง (ค.ศ. 1713) ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่ความขัดแย้งเรื่องผู้คิดค้นแคลคูลัสระหว่างนิวตันกับไลบ์นิซกำลังร้อนแรง แฮร์มันน์จึงกลายเป็นหนึ่งในตัวแทนฝั่งทวีปยุโรปที่แสดงให้เห็นว่าวิธีของไลบ์นิซสามารถแก้ปัญหากลศาสตร์ท้องฟ้าได้อย่างมีประสิทธิภาพไม่แพ้เรขาคณิตของนิวตัน
เส้นทางวิชาการข้ามทวีป
แฮร์มันน์เดินทางสอนหนังสือในหลายเมือง ทั้งปาดัว (อิตาลี) แฟรงก์เฟิร์ต และที่โดดเด่นที่สุดคือการเป็นหนึ่งในนักวิชาการต่างชาติรุ่นแรกที่ได้รับเชิญไปสอนที่ Imperial Academy of Sciences ณ เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ประเทศรัสเซีย ในปี ค.ศ. 1725 ซึ่งเป็นช่วงเวลาเดียวกับที่ดาเนียล แบร์นูลลีและเลออนฮาร์ด ออยเลอร์เริ่มต้นอาชีพที่นั่น ก่อนจะกลับมาบาเซิลในบั้นปลายชีวิต
มรดกที่ยังใช้อยู่
แม้ชื่อของแฮร์มันน์จะไม่เป็นที่รู้จักในวงกว้างเท่าออยเลอร์หรือลากรานจ์ แต่แนวทางการอธิบายกลศาสตร์ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ใน Phoronomia คือก้าวสำคัญที่เชื่อมนิวตันเข้ากับสำนักวิเคราะห์ของทวีปยุโรป และเวกเตอร์ Laplace–Runge–Lenz ที่เขามีส่วนค้นพบยังคงเป็นเครื่องมือมาตรฐานในวิชากลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัมจนถึงปัจจุบัน
กิจกรรมชวนคิด
- พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ Laplace–Runge–Lenz $\mathbf{A}$ คงที่ตลอดการเคลื่อนที่ภายใต้แรงผกผันกำลังสอง (โดยแสดงว่า $d\mathbf{A}/dt = 0$)
- เพราะเหตุใดปริมาณอนุรักษ์เพิ่มเติมอย่าง $\mathbf{A}$ จึงบ่งบอกว่าวงโคจรภายใต้แรงผกผันกำลังสองต้องเป็นวงปิด (ไม่ precess)
- เปรียบเทียบแนวทางกลศาสตร์แบบเรขาคณิตของนิวตันกับแนวทางแบบสมการเชิงอนุพันธ์ของแฮร์มันน์ ข้อดีข้อเสียของแต่ละแบบคืออะไร
- สืบค้นว่านักวิทยาศาสตร์คนใดอีกบ้างที่ค้นพบเวกเตอร์นี้ซ้ำอิสระต่อกันในเวลาต่างกัน (Laplace, Hamilton, Runge, Lenz)
เอกสารอ้างอิง
- Hermann, J. (1716). Phoronomia, sive de viribus et motibus corporum solidorum et fluidorum libri duo. Amsterdam: R. & G. Wetstein.
- Goldstein, H. (1975). Prehistory of the “Runge–Lenz” vector. American Journal of Physics, 43(8), 737–738.
- Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison Wesley.
- Truesdell, C. (1960). The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies 1638–1788. Leonhardi Euleri Opera Omnia Series II.
ชุดบทความ “วันนี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์” — เผยแพร่ 11 กรกฎาคม 2569
