อัลเฟรด คลิฟฟอร์ด: นักพีชคณิตผู้ให้กำเนิด “ทฤษฎีเซมิกรุป” เป็นศาสตร์อิสระ
วันนี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ | 11 กรกฎาคม ค.ศ. 1908
บทนำ: จากนักเปียโนสู่นักพีชคณิต
อัลเฟรด ฮอบลิตเซลล์ คลิฟฟอร์ด (Alfred Hoblitzelle Clifford) เกิดเมื่อวันที่ 11 กรกฎาคม ค.ศ. 1908 ที่เมืองเซนต์หลุยส์ รัฐมิสซูรี สหรัฐอเมริกา เขาเป็นนักเปียโนฝีมือดีและเคยลองแต่งเพลงระหว่างเรียนที่มหาวิทยาลัยเยล ก่อนจะไปศึกษาต่อปริญญาเอกที่สถาบันเทคโนโลยีแคลิฟอร์เนีย (Caltech) ภายใต้การดูแลของ E. T. Bell นักคณิตศาสตร์และนักเขียนชื่อดัง งานวิจัยชิ้นแรกของคลิฟฟอร์ดเกี่ยวกับความกำกวมที่เป็นไปได้ในสัจพจน์ของทฤษฎีกรุปตีพิมพ์ในปี 1932 ซึ่งดูเหมือนเป็นงานเล็ก ๆ ในตอนนั้น แต่กลับเป็นจุดเริ่มต้นของสาขาใหม่
เมื่อกรุปไม่มีตัวผกผันครบทุกตัว
ทฤษฎีกรุป (group theory) ที่นักคณิตศาสตร์คุ้นเคยกันดีต้องการให้ทุกสมาชิกมีตัวผกผัน แต่ในธรรมชาติหลายระบบ เช่น การรวมฟังก์ชัน (function composition) หรือการดำเนินการในวิทยาการคอมพิวเตอร์ มักไม่มีตัวผกผันครบทุกตัว โครงสร้างเช่นนี้เรียกว่า เซมิกรุป (semigroup) ซึ่งเป็นเซต $S$ พร้อมการดำเนินการทวิภาค $\cdot$ ที่มีสมบัติเปลี่ยนหมู่ (associative) เพียงอย่างเดียว:
$$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c), \qquad \forall, a, b, c \in S $$
คลิฟฟอร์ดเป็นผู้บุกเบิกที่ทำให้เซมิกรุปกลายเป็นสาขาที่มีโครงสร้างทฤษฎีของตัวเองอย่างสมบูรณ์ ไม่ใช่แค่ “กรุปที่ไม่สมบูรณ์” หนึ่งในผลงานสำคัญที่สุดของเขาคือการจำแนกโครงสร้างของ เซมิกรุปแบบคลิฟฟอร์ด (Clifford semigroup) ซึ่งเป็นเซมิกรุปปรกติ (regular semigroup) ที่ไอเดมโพเทนต์ทุกตัวอยู่ในศูนย์กลาง (central idempotents) เขาแสดงให้เห็นว่าเซมิกรุปประเภทนี้สามารถแยกย่อยเป็น ผลรวมกึ่งแลตทิซ (semilattice) ของกรุป ได้อย่างสวยงาม:
$$ S = \bigcup_{\alpha \in Y} G_\alpha $$
โดย $Y$ คือกึ่งแลตทิซ และแต่ละ $G_\alpha$ คือกรุปที่เชื่อมโยงกันด้วยโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงโครงสร้าง ผลลัพธ์นี้ทำให้นักคณิตศาสตร์สามารถศึกษาเซมิกรุปที่ซับซ้อนโดยแยกวิเคราะห์เป็นกรุปย่อยที่คุ้นเคยกันดีแทน
Clifford Theory: จากเซมิกรุปสู่ทฤษฎีการแทนค่า
คลิฟฟอร์ดยังเป็นที่รู้จักจากทฤษฎีที่ใช้ชื่อของเขาเองว่า Clifford theory ซึ่งศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างการแทนค่า (representation) ของกรุป $G$ กับการแทนค่าของกรุปย่อยปรกติ (normal subgroup) $N \trianglelefteq G$ ทฤษฎีนี้อธิบายว่าเมื่อจำกัดการแทนค่าที่ลดทอนไม่ได้ (irreducible representation) ของ $G$ ลงบน $N$ ผลลัพธ์ที่ได้จะแตกเป็นผลรวมของการแทนค่าของ $N$ ที่ conjugate กันภายใต้การกระทำของ $G/N$ นี่เป็นเครื่องมือสำคัญในทฤษฎีการแทนค่ากรุปจำกัดที่ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในปัจจุบัน
ตำราคลาสสิกที่ยังใช้สอนกันอยู่
คลิฟฟอร์ดเป็นนักวิเคราะห์โดยการฝึกฝน แต่ภายหลังหันมาสนใจเซมิกรุปแบบมีลำดับ (ordered semigroups) ก่อนขยายไปสู่เซมิกรุปโดยทั่วไป และร่วมกับ Gordon B. Preston เขียนตำรา The Algebraic Theory of Semigroups สองเล่ม (ค.ศ. 1961 และ 1967) ซึ่งกลายเป็นตำราหลักเล่มแรกของสาขานี้ในโลกตะวันตก คลิฟฟอร์ดใช้ชีวิตการทำงานส่วนใหญ่ที่มหาวิทยาลัยทูเลน รัฐลุยเซียนา ซึ่งปัจจุบันมีห้องสมุดคณิตศาสตร์ที่ตั้งชื่อตามเขา
มรดกที่ยังใช้อยู่
ทฤษฎีเซมิกรุปที่คลิฟฟอร์ดวางรากฐานไว้ปัจจุบันมีการประยุกต์ใช้กว้างขวางในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี โดยเฉพาะทฤษฎีออโตมาตาและภาษาเชิงรูปนัย (formal languages) ซึ่งเซมิกรุปอิสระ (free semigroup) คือโครงสร้างพื้นฐานของสตริงและคำ (words) ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ ส่วน Clifford theory ยังคงเป็นเครื่องมือมาตรฐานในทฤษฎีการแทนค่ากรุปจำกัดและฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์
กิจกรรมชวนคิด
- ตรวจสอบว่าเซตของจำนวนธรรมชาติ $\mathbb{N}$ ภายใต้การบวก เป็นเซมิกรุปหรือไม่ และเป็นกรุปหรือไม่ เพราะเหตุใด
- ยกตัวอย่างเซมิกรุปที่ไม่ใช่กรุปจากบริบทในชีวิตประจำวันหรือวิทยาการคอมพิวเตอร์ (เช่น การต่อสตริง)
- อธิบายว่าไอเดมโพเทนต์ (idempotent) ในเซมิกรุปคืออะไร และหาไอเดมโพเทนต์ทั้งหมดของเซมิกรุปการคูณเมทริกซ์ $2\times 2$ แบบทแยงมุม
- สืบค้นเพิ่มเติมว่าเซมิกรุปอิสระ (free semigroup) เชื่อมโยงกับทฤษฎีภาษาเชิงรูปนัยในวิทยาการคอมพิวเตอร์อย่างไร
เอกสารอ้างอิง
- Clifford, A. H., & Preston, G. B. (1961). The Algebraic Theory of Semigroups, Vol. I. American Mathematical Society.
- Clifford, A. H., & Preston, G. B. (1967). The Algebraic Theory of Semigroups, Vol. II. American Mathematical Society.
- Clifford, A. H. (1937). Representations induced in an invariant subgroup. Annals of Mathematics, 38(3), 533–550.
- Hofmann, K. H. et al. (Eds.). (1996). Semigroup Theory and Its Applications. Cambridge University Press.
ชุดบทความ “วันนี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์” — เผยแพร่ 11 กรกฎาคม 2569
