วันนี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ : ลอเรนโซ มาเชโรนี (เสียชีวิต 14 กรกฎาคม ค.ศ. 1800)
ลองจินตนาการว่าคุณต้องสร้างรูปเรขาคณิตทุกแบบที่ทำได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน แต่มีเงื่อนไขว่า ห้ามใช้ไม้บรรทัดเลย — ฟังดูเป็นไปไม่ได้ใช่ไหม? แต่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียนนามว่า ลอเรนโซ มาเชโรนี (Lorenzo Mascheroni) พิสูจน์ไว้ตั้งแต่ปี 1797 ว่าทำได้จริง และเขาเสียชีวิตที่กรุงปารีสในวันที่ 14 กรกฎาคม ค.ศ. 1800
จากนักบวชสู่นักเรขาคณิต
มาเชโรนีเกิดในปี 1750 ใกล้เมืองแบร์กาโม แคว้นลอมบาร์ดี ประเทศอิตาลี ในครอบครัวเจ้าของที่ดิน ช่วงต้นชีวิตเขาสนใจวรรณกรรมและภาษากรีกมากกว่าคณิตศาสตร์ ได้รับการอุปสมบทเป็นบาทหลวงคาทอลิกในปี 1774 และสอนวาทศิลป์ คณิตศาสตร์ และฟิสิกส์ที่วิทยาลัยศาสนาในเมืองแบร์กาโมอยู่นานกว่าทศวรรษ ก่อนที่ผลงานเรื่องกลศาสตร์ของโครงสร้างโค้ง (Nuove ricerche su l’equilibrio delle vòlte, 1785) จะทำให้เขาได้เป็นศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยปาเวีย
เรขาคณิตแห่งวงเวียน
ผลงานที่ทำให้ชื่อของมาเชโรนีอยู่ในตำราคณิตศาสตร์จนถึงปัจจุบันคือหนังสือ Geometria del Compasso (เรขาคณิตแห่งวงเวียน) ตีพิมพ์ที่เมืองปาเวียในปี 1797 ซึ่งเขาอุทิศให้นโปเลียน โบนาปาร์ตเป็นบทกวี ในหนังสือเล่มนี้เขาพิสูจน์ว่า
ทุกการสร้างเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ทำได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน สามารถทำได้ด้วยวงเวียนเพียงอย่างเดียว
ปัจจุบันเรียกผลลัพธ์นี้ว่า ทฤษฎีบทมอร์–มาเชโรนี (Mohr–Mascheroni theorem) เพราะภายหลังพบว่านักคณิตศาสตร์ชาวเดนมาร์กชื่อ จอร์จ มอร์ (Georg Mohr) ได้พิสูจน์ผลลัพธ์เดียวกันไว้ก่อนแล้วในปี 1672 เพียงแต่ผลงานของมอร์ถูกลืมเลือนไปจนกระทั่งมีการค้นพบใหม่ในปี 1928 มาเชโรนีจึงไม่รู้เลยว่ามีคนอื่นค้นพบสิ่งเดียวกันมาก่อนหน้าเขากว่าศตวรรษ
หลักการสำคัญของการพิสูจน์คือการแสดงว่าการสร้างพื้นฐานทุกแบบด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน — ลากเส้นตรงผ่านสองจุด วาดวงกลมจากจุดศูนย์กลางและรัศมีที่กำหนด หาจุดตัดของวงกลมสองวง — สามารถจำลองได้ด้วยวงเวียนเพียงอย่างเดียว โดยแทนที่ “เส้นตรง” ด้วยคู่จุดสองจุดที่กำหนดเส้นตรงนั้น ผลลัพธ์นี้มีความสำคัญเชิงทฤษฎีอย่างยิ่งต่อรากฐานของเรขาคณิตเชิงสร้าง (constructive geometry) และเชื่อมโยงโดยตรงกับซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัตอย่าง Geometer’s Sketchpad (GSP) ที่ใช้หลักการสร้างเชิงเรขาคณิตในการสอน
ค่าคงตัวออยเลอร์–มาเชโรนี
นอกจากเรขาคณิตแล้ว มาเชโรนียังทิ้งร่องรอยไว้ในทฤษฎีจำนวนผ่านผลงาน Adnotationes ad calculum integrale Euleri (1790) ซึ่งเขาคำนวณค่า γ (แกมมา) หรือค่าคงตัวออยเลอร์–มาเชโรนี ไปถึงทศนิยม 32 ตำแหน่ง (แม้จะถูกต้องเพียง 19 ตำแหน่งแรก โดยตำแหน่งที่เหลือได้รับการแก้ไขในภายหลังโดยโยฮันน์ ฟอน โซลด์เนอร์ในปี 1809) ค่าคงตัวนี้นิยามจากลิมิตของผลต่างระหว่างอนุกรมฮาร์มอนิกกับลอการิทึมธรรมชาติ
$$ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} – \ln n \right) \approx 0.5772156649\ldots $$
ค่า $\gamma$ ยังคงเป็นหนึ่งในค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่ลึกลับที่สุด เพราะจนถึงทุกวันนี้ยังไม่มีใครพิสูจน์ได้ว่ามันเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ
บั้นปลายชีวิตในปารีส
มาเชโรนีเดินทางไปปารีสในฐานะตัวแทนของสาธารณรัฐซิสอัลไพน์ (Cisalpine Republic) แต่สภาพอากาศเลวร้ายในปารีสส่งผลเสียต่อสุขภาพของเขาอย่างหนัก ประกอบกับสงครามระหว่างออสเตรียกับฝรั่งเศสในอิตาลีตอนเหนือทำให้เขาไม่สามารถเดินทางกลับบ้านเกิดได้ มาเชโรนีเสียชีวิตด้วยภาวะแทรกซ้อนจากไวรัสในวันที่ 14 กรกฎาคม ค.ศ. 1800 ที่กรุงปารีส ด้วยวัย 50 ปี
กิจกรรมชวนคิด
- ลองใช้ GSP หรือเครื่องมือเรขาคณิตพลวัตจำลองการสร้างจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงโดยใช้วงเวียนเพียงอย่างเดียว
- เพราะเหตุใดการสร้างเรขาคณิตด้วยวงเวียนอย่างเดียวจึงต้องแทน “เส้นตรง” ด้วยคู่จุดสองจุด แทนที่จะวาดเส้นจริง?
- ค่าคงตัวออยเลอร์–มาเชโรนี $\gamma$ ปรากฏในสูตรคณิตศาสตร์ใดอีกบ้างนอกจากนิยามอนุกรมฮาร์มอนิก? ลองสืบค้นความเชื่อมโยงกับฟังก์ชันแกมมา
- อภิปรายว่าเหตุใดการค้นพบซ้ำ (rediscovery) อย่างกรณีมอร์กับมาเชโรนีจึงเกิดขึ้นบ่อยในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์
เอกสารอ้างอิง
O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. (n.d.). Lorenzo Mascheroni. MacTutor History of Mathematics Archive. University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Mascheroni/
Posamentier, A. S., & Spreitzer, C. (2020). Math Makers: The Lives and Works of 50 Famous Mathematicians. Prometheus Books.
Encyclopedia.com. (n.d.). Mascheroni, Lorenzo. In Complete Dictionary of Scientific Biography. https://www.encyclopedia.com/science/dictionaries-thesauruses-pictures-and-press-releases/mascheroni-lorenzo
บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของซีรีส์ “วันนี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์” — ย้อนรอยเรื่องราวนักคณิตศาสตร์ที่หล่อหลอมโลกวิชาคณิตศาสตร์ในทุก ๆ วันของปี
