Niels Henrik Abel: อัจฉริยะผู้จนตรอกที่เสียชีวิตก่อนรู้ข่าวดีเพียงสองวัน

ไม่มีเรื่องราวชีวิตนักคณิตศาสตร์คนใดที่น่าเศร้าและน่าประทับใจไปพร้อมกันเท่ากับเรื่องราวของ Niels Henrik Abel นักคณิตศาสตร์นอร์เวย์ระดับตำนาน ผู้ปฏิวัติวงการพีชคณิตและทฤษฎีฟังก์ชัน แต่กลับต้องใช้ชีวิตส่วนใหญ่ท่ามกลางความยากจนข้นแค้น และจากโลกนี้ไปด้วยวัยเพียง 26 ปี เพียงสองวันก่อนที่จดหมายแจ้งข่าวการได้รับตำแหน่งศาสตราจารย์ที่กรุงเบอร์ลินจะมาถึง

วัยเด็กที่ยากจนท่ามกลางสงครามนโปเลียน

Niels Henrik Abel เกิดเมื่อวันที่ 5 สิงหาคม ค.ศ. 1802 บนเกาะ Finnøy ใกล้เมือง Stavanger ประเทศนอร์เวย์ เป็นบุตรคนที่สองของ Søren Georg Abel นักบวชลูเทอรัน และ Anne Marie Simonsen ครอบครัวของเขาย้ายไปอยู่ที่ตำบล Gjerstad ใกล้เมือง Risør ไม่นานหลังจากที่ Niels Henrik เกิด ในช่วงเวลานั้นนอร์เวย์ยังคงเป็นส่วนหนึ่งของเดนมาร์ก และสงครามนโปเลียนที่ลุกลามไปทั่วยุโรปสร้างความยากลำบากทางเศรษฐกิจให้กับภูมิภาคนี้อย่างหนัก ครอบครัว Abel จึงต้องเผชิญกับความยากจนมาโดยตลอด

ในปี ค.ศ. 1815 Abel เข้าเรียนที่ Cathedral School ในเมือง Christiania (ปัจจุบันคือ Oslo) และในปี ค.ศ. 1818 พรสวรรค์ทางคณิตศาสตร์ของเขาก็ถูกค้นพบโดย Bernt Michael Holmboe ครูสอนคณิตศาสตร์คนใหม่ของโรงเรียน ผู้แนะนำให้เขารู้จักกับวรรณกรรมคณิตศาสตร์คลาสสิกและร่วมสมัย ทั้งผลงานของ Newton, Euler, Lagrange และ Gauss พร้อมทั้งเสนอโจทย์ต้นฉบับให้เขาได้ฝึกฝนแก้ปัญหาอย่างต่อเนื่อง เมื่อบิดาของเขาเสียชีวิตลงในปี ค.ศ. 1820 ทำให้ครอบครัวตกอยู่ในสภาวะยากลำบากยิ่งขึ้น แต่ด้วยทุนสนับสนุนเล็กน้อยจากรัฐ Abel จึงสามารถเข้าศึกษาต่อที่ Christiania University ได้ในปี ค.ศ. 1821

ทฤษฎีบท Abel-Ruffini: ปัญหาที่ค้างคามากว่า 250 ปี

ผลงานที่โด่งดังที่สุดของ Abel คือการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์ครั้งแรกว่า สมการดีกรีที่ห้าทั่วไป (general quintic equation) ไม่สามารถแก้ได้ด้วยสูตรพีชคณิตที่ใช้รากที่ n (in radicals) ซึ่งเป็นคำถามที่ค้างคาในวงการคณิตศาสตร์มานานกว่า 250 ปี นับตั้งแต่มีการค้นพบสูตรแก้สมการดีกรีสาม สี่ ในยุคเรอเนซองส์ และมีความพยายามค้นหาสูตรทำนองเดียวกันสำหรับสมการดีกรีห้าอย่างต่อเนื่องแต่ไม่มีใครทำสำเร็จ

แม้ Paolo Ruffini นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีจะเคยเสนอข้อพิสูจน์ในทำนองเดียวกันมาก่อนหน้าแล้ว แต่งานของเขามีช่องโหว่และไม่ได้รับการยอมรับอย่างสมบูรณ์ Abel เป็นผู้ที่ให้การพิสูจน์ที่รัดกุมและสมบูรณ์ที่สุด ทำให้ผลลัพธ์นี้ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบท Abel-Ruffini (Abel–Ruffini theorem) ซึ่งเป็นก้าวสำคัญที่ปูทางไปสู่การพัฒนาทฤษฎีกรุ๊ปของ Évariste Galois ในเวลาต่อมา

ผู้บุกเบิกทฤษฎีฟังก์ชันวงรี

นอกเหนือจากทฤษฎีบท Abel-Ruffini แล้ว Abel ยังเป็นผู้บุกเบิกคนสำคัญของ ทฤษฎีฟังก์ชันวงรี (elliptic functions) ซึ่งเป็นสาขาที่ศึกษาฟังก์ชันเชิงซ้อนที่มีคาบสองทิศทาง งานวิจัยของเขาในสาขานี้ลึกซึ้งและล้ำหน้ามากจนแม้แต่ Carl Friedrich Gauss นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งในประวัติศาสตร์ก็ยังกล่าวชื่นชม ผลงานของ Abel ในด้านนี้ยังวางรากฐานสำคัญให้กับสิ่งที่ต่อมาเรียกว่าฟังก์ชันอาเบเลียน (Abelian functions) และแนวคิดอื่นๆ อีกมากมายที่ใช้ชื่อของเขา ทั้งกรุ๊ปอาเบเลียน (Abelian group) ซึ่งเป็นแนวคิดพื้นฐานที่สุดอย่างหนึ่งในพีชคณิตนามธรรมสมัยใหม่

ตลอดการเดินทางในทวีปยุโรประหว่างปี ค.ศ. 1825-1827 Abel ได้พบปะกับนักคณิตศาสตร์ชั้นนำหลายคน และมีโอกาสตีพิมพ์ผลงานในวารสาร Journal für die reine und angewandte Mathematik ที่ August Leopold Crelle ก่อตั้งขึ้น ซึ่งกลายเป็นเวทีสำคัญที่ทำให้ผลงานของเขาเป็นที่รู้จักในวงกว้างมากขึ้น

โศกนาฏกรรมของการมาถึงช้าเกินไปเพียงสองวัน

แม้ผลงานของ Abel จะได้รับการยอมรับมากขึ้นเรื่อยๆ ในวงวิชาการยุโรป แต่ตัวเขาเองกลับไม่เคยได้รับตำแหน่งทางวิชาการที่มั่นคงในช่วงชีวิตของตนเองเลย เขาใช้ชีวิตด้วยความยากจนและสุขภาพที่ทรุดโทรมลงเรื่อยๆ จากวัณโรคที่เขาป่วยมาตั้งแต่วัยเยาว์ ในช่วงต้นปี ค.ศ. 1829 อาการป่วยของเขาทรุดหนักลงอย่างมาก จนต้องเดินทางไปพักรักษาตัวที่เมือง Froland ประเทศนอร์เวย์

เรื่องราวที่น่าเศร้าที่สุดในชีวิตของ Abel คือ เพียงสองวันหลังจากที่เขาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 6 เมษายน ค.ศ. 1829 ด้วยวัยเพียง 26 ปี จดหมายจาก August Leopold Crelle ก็เดินทางมาถึง แจ้งข่าวว่าเขาได้รับการแต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน ซึ่งเป็นตำแหน่งที่เขาใฝ่ฝันมาตลอดชีวิตเพื่อหลุดพ้นจากความยากจน แต่น่าเสียดายที่ข่าวดีนี้มาถึงช้าเกินไปเพียงเล็กน้อยเท่านั้น

มรดกที่ยิ่งใหญ่กว่าชีวิตอันแสนสั้น

แม้ Abel จะมีชีวิตอยู่เพียง 26 ปี แต่ผลงานของเขากลับส่งอิทธิพลอย่างลึกซึ้งต่อคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ทั้งพีชคณิต การวิเคราะห์ และทฤษฎีฟังก์ชัน จนได้รับการยกย่องว่าเป็นหนึ่งในผู้บุกเบิกคณิตศาสตร์สมัยใหม่หลายสาขาไปพร้อมกัน เพื่อเป็นเกียรติแก่เขา ประเทศนอร์เวย์ได้ก่อตั้ง รางวัล Abel Prize ขึ้นในปี ค.ศ. 2002 ซึ่งเป็นปีครบรอบ 200 ปีวันเกิดของเขา โดยมอบให้แก่นักคณิตศาสตร์ที่มีผลงานโดดเด่นที่สุดในแต่ละปี และได้รับการยกย่องว่าเป็นหนึ่งในรางวัลเกียรติยศสูงสุดของวงการคณิตศาสตร์โลก เทียบเท่ารางวัลโนเบลที่ไม่มีสาขาคณิตศาสตร์โดยตรง

เรื่องราวชีวิตของ Niels Henrik Abel จึงเป็นทั้งแรงบันดาลใจและบทเรียนอันเจ็บปวด ที่แสดงให้เห็นว่าอัจฉริยภาพทางปัญญาอันยิ่งใหญ่ บางครั้งก็ไม่อาจปกป้องผู้ครอบครองมันจากความโหดร้ายของโชคชะตาและกาลเวลาได้เลย