เปตร โนวีคอฟ: ผู้พิสูจน์ว่ามีบางสิ่งที่คณิตศาสตร์พิสูจน์ไม่ได้

มีคำถามพื้นฐานที่สุดข้อหนึ่งในทฤษฎีกรุ๊ป (group theory) ซึ่งฟังดูเรียบง่ายแต่กลับซ่อนความซับซ้อนมหาศาลไว้ นั่นคือ “เราจะรู้ได้อย่างไรว่าคำสองคำที่เขียนจากตัวสร้าง (generators) ของกรุ๊ปหนึ่ง ๆ นั้นแท้จริงแล้วแทนสมาชิกตัวเดียวกันหรือไม่” คำถามนี้เรียกว่า “ปัญหาคำ” (word problem) และผู้ที่พิสูจน์ให้โลกเห็นว่าคำถามนี้ไม่มีคำตอบสากลเสมอไปคือ เปตร เซียร์เกเยวิช โนวีคอฟ (Petr Sergeevich Novikov) นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียผู้เกิดเมื่อวันที่ 15 สิงหาคม ค.ศ. 1901 ที่กรุงมอสโก

ชีวิตที่เริ่มต้นท่ามกลางสงคราม

โนวีคอฟเกิดเป็นบุตรของพ่อค้าชาวมอสโก เขาเข้าศึกษาที่คณะฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยมอสโกในเดือนกันยายน 1919 แต่การศึกษาของเขาต้องหยุดชะงักลงเมื่อรัสเซียตกอยู่ในภาวะสงครามกลางเมือง ในฤดูใบไม้ผลิปี 1920 เขาเข้าร่วมกองทัพแดง (Red Army) และรับใช้ในกองทัพจนถึงเดือนกรกฎาคม 1922 ก่อนจะกลับมาศึกษาต่อจนสำเร็จการศึกษาในปี 1925 ภายใต้การดูแลของนีโคไล ลูซิน (Nikolai Luzin) นักคณิตศาสตร์ชื่อดังผู้ก่อตั้งสำนักทฤษฎีเซตเชิงพรรณนา (descriptive set theory) แห่งมอสโก

ในปี 1929 เขาได้เป็นอาจารย์ที่สถาบันเคมีเทคโนโลยีมอสโก และในปี 1934 ได้เข้าร่วมสถาบันคณิตศาสตร์สเตคลอฟ (Steklov Institute of Mathematics) ซึ่งเป็นสถาบันวิจัยคณิตศาสตร์ชั้นนำของสหภาพโซเวียต และในปี 1957 เขาได้ก่อตั้งภาควิชาตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์ขึ้นที่สถาบันแห่งนี้และดำรงตำแหน่งหัวหน้าภาควิชา

การพิสูจน์ที่เขย่าวงการตรรกศาสตร์

ผลงานที่ทำให้ชื่อของโนวีคอฟเป็นอมตะคือการพิสูจน์ในปี 1955 ว่า ปัญหาคำสำหรับกรุ๊ป (word problem for groups) นั้นแก้ไม่ได้โดยทั่วไป กล่าวคือ ไม่มีอัลกอริทึมสากลใด ๆ ที่สามารถตัดสินได้เสมอว่าคำสองคำในกรุ๊ปที่นิยามด้วยตัวสร้างและความสัมพันธ์จำกัดจำนวนนั้นแทนสมาชิกตัวเดียวกันหรือไม่ ต่อมาในปี 1958 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน วิลเลียม บูน (William Boone) ได้พิสูจน์ผลลัพธ์เดียวกันนี้ด้วยวิธีการที่แตกต่างออกไป และปัจจุบันผลลัพธ์นี้จึงถูกเรียกร่วมกันว่า ทฤษฎีบทโนวีคอฟ-บูน (Novikov–Boone theorem)

ทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งเพราะเป็นหนึ่งในตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดที่แสดงให้เห็นถึง “ขอบเขต” ของสิ่งที่คณิตศาสตร์และการคำนวณสามารถทำได้ มันแสดงให้เห็นว่าแม้แต่ปัญหาที่ดูเรียบง่ายในเชิงโครงสร้างพีชคณิต ก็อาจไม่มีวิธีแก้ไขเชิงอัลกอริทึมที่ใช้ได้เสมอไป ผลลัพธ์นี้เชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งกับทฤษฎีการคำนวณได้ (computability theory) และแนวคิดเรื่องความไม่สมบูรณ์ (undecidability) ที่บุกเบิกโดยนักตรรกศาสตร์อย่างเคิร์ท เกอเดล และอลัน ทัวริง

มรดกที่สืบทอดผ่านครอบครัวและลูกศิษย์

โนวีคอฟแต่งงานกับ ลุดมิลา เคลดิช (Lyudmila Keldysh) นักคณิตศาสตร์ผู้เชี่ยวชาญด้านทอพอโลยี ทั้งคู่มีบุตรด้วยกันห้าคน หนึ่งในนั้นคือ เซียร์เกย์ โนวีคอฟ (Sergei Novikov) ผู้กลายเป็นนักคณิตศาสตร์โซเวียตคนแรกที่ได้รับเหรียญฟิลด์สในปี 1970 นับเป็นครอบครัวนักคณิตศาสตร์ที่ทิ้งผลงานสำคัญไว้ในหลายสาขาของวงการนี้ นอกจากนี้โนวีคอฟยังมีลูกศิษย์คนสำคัญคือ แซร์เกย์ อาเดียน (Sergei Adian) ผู้สานต่องานวิจัยด้านทฤษฎีกรุ๊ปเชิงผสมผสานต่อไป

เปตร โนวีคอฟเสียชีวิตเมื่อวันที่ 9 มกราคม ค.ศ. 1975 ที่กรุงมอสโก งานวิจัยของเขายังคงเป็นเสาหลักสำคัญของวิชาตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์และทฤษฎีกรุ๊ปเชิงผสมผสานมาจนถึงปัจจุบัน เป็นเครื่องเตือนใจว่าคณิตศาสตร์ไม่ได้มีไว้เพียงเพื่อค้นหาคำตอบ แต่ยังมีไว้เพื่อเข้าใจขอบเขตของสิ่งที่ตอบได้อีกด้วย