อลัน เบเกอร์: ผู้พลิกโฉมทฤษฎีจำนวนอดิศัยด้วยลอการิทึม

อลัน เบเกอร์ (Alan Baker) เกิดเมื่อวันที่ 19 สิงหาคม ค.ศ. 1939 ในครอบครัวชาวยิวที่กรุงลอนดอน ประเทศอังกฤษ ช่วงวัยเด็กของเขาเต็มไปด้วยความทรงจำเกี่ยวกับสงครามโลกครั้งที่สอง เมื่อครอบครัวต้องอพยพไปยังเมืองแคมเบอร์ลีย์ แคว้นเซอร์รีย์ ก่อนจะย้ายกลับมาตั้งรกรากที่ย่านฟอเรสต์เกต ทางตะวันออกของลอนดอนหลังสงครามสิ้นสุดลง แม้บิดาของเขาจะมีพรสวรรค์ทางคณิตศาสตร์ไม่แพ้ใคร แต่ไม่มีโอกาสได้พัฒนาความสามารถนี้และหันไปประกอบอาชีพช่างตัดเสื้อแทน เบเกอร์เองกลับได้รับการสนับสนุนจากครอบครัวให้พัฒนาพรสวรรค์ทางคณิตศาสตร์ที่ปรากฏชัดตั้งแต่วัยเยาว์

เส้นทางวิชาการสู่จุดสูงสุด

เบเกอร์ศึกษาที่ยูนิเวอร์ซิตี้คอลเลจลอนดอน และสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรีเกียรตินิยมอันดับหนึ่งสาขาคณิตศาสตร์ในปี 1961 ก่อนจะย้ายไปศึกษาต่อที่วิทยาลัยทรินิตี้ มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ภายใต้การดูแลของ แฮโรลด์ ดาเวนพอร์ต (Harold Davenport) นักทฤษฎีจำนวนชั้นนำ เขาได้รับปริญญาเอกในปี 1964 และเริ่มต้นเส้นทางการวิจัยที่จะเปลี่ยนโฉมหน้าทฤษฎีจำนวนอดิศัย (transcendental number theory) ไปตลอดกาล

การปฏิวัติทฤษฎีลอการิทึมของจำนวนพีชคณิต

ผลงานที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของเบเกอร์คือการวางรากฐานทฤษฎีเกี่ยวกับ รูปแบบเชิงเส้นของลอการิทึม (linear forms in logarithms) ของจำนวนพีชคณิต ซึ่งเป็นการขยายผลลัพธ์ของทฤษฎีบทเกลฟอนด์-ชไนเดอร์ (Gelfond-Schneider theorem) หรือปัญหาที่เจ็ดของฮิลแบร์ท (Hilbert’s seventh problem) ให้กว้างขวางยิ่งขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ ผลงานนี้เปิดประตูสู่การค้นพบกลุ่มจำนวนอดิศัยใหม่ ๆ จำนวนมากที่ไม่เคยมีใครค้นพบมาก่อน และกลายเป็นรากฐานสำคัญของสิ่งที่ปัจจุบันเรียกกันว่า ทฤษฎีบทเบเกอร์ (Baker’s theorem)

ที่สำคัญยิ่งกว่านั้น เบเกอร์ยังพัฒนาวิธีการเชิงปริมาณ (quantitative versions) ของทฤษฎีนี้ และนำไปประยุกต์ใช้แก้ปัญหา สมการไดโอแฟนไทน์ (Diophantine equations) แบบคลาสสิกได้อย่างมีประสิทธิผล (effective solutions) ซึ่งหมายความว่าไม่เพียงแต่พิสูจน์ได้ว่าคำตอบมีจำนวนจำกัดเท่านั้น แต่ยังสามารถระบุขอบเขตที่ชัดเจนของคำตอบเหล่านั้นได้ด้วย นี่ถือเป็นการปรับปรุงที่มีประสิทธิผลครั้งแรกต่อผลงานของโฌแซฟ ลียูวีลล์ (Joseph Liouville) ในปี 1844 เกี่ยวกับการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์ นอกจากนี้ เบเกอร์ยังสามารถไขข้อสันนิษฐานของเกาส์ (Gauss Conjectures) ปี 1801 เกี่ยวกับจำนวนคลาส (class numbers) ของฟีลด์กำลังสองจินตภาพ (imaginary quadratic fields) ได้สำเร็จ ทั้งกรณี h=1 และ h=2

เหรียญฟิลด์สและมรดกที่ตกทอด

ในปี 1970 ณ การประชุมคณิตศาสตร์นานาชาติที่เมืองนีซ ประเทศฝรั่งเศส เบเกอร์ได้รับรางวัล เหรียญฟิลด์ส (Fields Medal) ด้วยวัยเพียง 31 ปี จากผลงานอันโดดเด่นด้านทฤษฎีจำนวนอดิศัยและการประยุกต์ใช้ ในช่วงฤดูใบไม้ร่วงปีเดียวกันนั้น เขาได้เป็นนักวิชาการรับเชิญที่สถาบันการศึกษาขั้นสูง (Institute for Advanced Study) ในเมืองพรินซ์ตัน และในปี 1972 ก็ได้รับรางวัลอดัมส์ (Adams Prize) อันทรงเกียรติของเคมบริดจ์อีกด้วย

เบเกอร์ใช้ชีวิตการทำงานส่วนใหญ่ที่วิทยาลัยทรินิตี้ มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ในฐานะเฟลโลว์ตั้งแต่ปี 1964 เป็นต้นมา และได้บ่มเพาะนักคณิตศาสตร์รุ่นใหม่มากมายที่ต่อมาสร้างชื่อเสียงในสาขาของตนเอง เช่น จอห์น โคตส์ (John Coates) และโรเจอร์ ฮีธ-บราวน์ (Roger Heath-Brown) นอกจากนี้เขายังริเริ่มการศึกษาการขยายทฤษฎีของเขาไปสู่เส้นโค้งวงรี (elliptic curves) ซึ่งเปิดทางไปสู่การประยุกต์ใช้กับพีชคณิตวาไรตี (abelian varieties) และปัญหาต่าง ๆ ทั้งเก่าและใหม่ในเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์

อลัน เบเกอร์เสียชีวิตเมื่อวันที่ 4 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 2018 ที่เมืองเคมบริดจ์ หลังจากเผชิญกับโรคหลอดเลือดสมองอย่างรุนแรง ผลงานของเขายังคงเป็นเสาหลักสำคัญของทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่ และยังคงเป็นเครื่องมือที่นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกใช้ในการแก้ปัญหาสมการไดโอแฟนไทน์ที่ท้าทายที่สุดมาจนถึงปัจจุบัน