รำลึกถึงวิลเลียม เบิร์นไซด์: ผู้บุกเบิกทฤษฎีการแทนค่าของกรุ๊ป

เมื่อวันที่ 21 สิงหาคม ค.ศ. 1927 ณ เมืองเวสต์วิกแฮม แคว้นเคนต์ ประเทศอังกฤษ วิลเลียม เบิร์นไซด์ (William Burnside) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษเสียชีวิตลงด้วยวัย 75 ปี เขาทิ้งไว้เบื้องหลังผลงานที่วางรากฐานสำคัญให้กับทฤษฎีกรุ๊ปจำกัด (finite group theory) สาขาที่กลายเป็นเสาหลักสำคัญของพีชคณิตนามธรรมสมัยใหม่

เด็กกำพร้าผู้ค้นพบพรสวรรค์ทางคณิตศาสตร์

เบิร์นไซด์เกิดเมื่อวันที่ 2 กรกฎาคม ค.ศ. 1852 ที่ย่านแพดดิงตัน กรุงลอนดอน เป็นบุตรชายคนโตของพ่อค้าเชื้อสายสกอตแลนด์ แต่โชคชะตากลับเล่นตลกกับเขา เมื่อทั้งบิดาและมารดาเสียชีวิตไปตั้งแต่เขาอายุยังไม่ถึงหกขวบ ทำให้เบิร์นไซด์กลายเป็นเด็กกำพร้าตั้งแต่วัยเยาว์ เขาได้รับการศึกษาที่โรงเรียนคริสต์ฮอสพิทัล ซึ่งเป็นโรงเรียนที่รับเด็กจากครอบครัวที่ไม่สามารถจ่ายค่าเล่าเรียนโรงเรียนประจำได้ และแสดงความโดดเด่นทั้งในด้านภาษาศาสตร์และคณิตศาสตร์

ในปี 1871 เบิร์นไซด์ได้รับทุนการศึกษาเข้าศึกษาที่วิทยาลัยเซนต์จอห์น มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ก่อนย้ายไปวิทยาลัยเพมโบรกในปี 1873 และสำเร็จการศึกษาในปี 1875 ด้วยตำแหน่ง Second Wrangler ในการสอบ Mathematical Tripos อันโด่งดัง เขาได้รับตำแหน่งเฟลโลว์ที่วิทยาลัยเพมโบรกและสอนวิชาพลศาสตร์ของไหล (hydrodynamics) อยู่ที่นั่นจนถึงปี 1886 ก่อนจะได้รับแต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่วิทยาลัยราชนาวี (Royal Naval College) เมืองกรีนิช ซึ่งเป็นตำแหน่งที่เขาดำรงอยู่ตลอดชีวิตการทำงานจนกระทั่งเสียชีวิต แม้ตำแหน่งนี้จะอยู่ห่างไกลจากศูนย์กลางการวิจัยคณิตศาสตร์หลักของอังกฤษ แต่เบิร์นไซด์ก็ยังคงเป็นนักวิจัยที่กระตือรือร้นและตีพิมพ์ผลงานมากกว่า 150 ชิ้นตลอดอาชีพการงาน

จุดเปลี่ยนสู่ทฤษฎีกรุ๊ป

แม้จะเริ่มต้นอาชีพการวิจัยด้านคณิตศาสตร์ประยุกต์ แต่ในช่วงต้นทศวรรษ 1890 ความสนใจของเบิร์นไซด์เปลี่ยนทิศทางไปสู่ ทฤษฎีกรุ๊ป (group theory) อย่างเต็มตัว โดยเริ่มจากงานวิจัยเกี่ยวกับกรุ๊ปของการแปลงเชิงเส้นเศษส่วน (linear fractional transformations) ของตัวแปรเชิงซ้อนในปี 1891-1892 และภายในปี 1894 ทฤษฎีกรุ๊ปจำกัดก็กลายเป็นหัวใจสำคัญของงานวิจัยของเขา ในปี 1897 เขาตีพิมพ์หนังสือ Theory of Groups of Finite Order ซึ่งถือเป็นตำราเล่มแรกในภาษาอังกฤษที่อธิบายทฤษฎีกรุ๊ปอย่างเป็นระบบ และกลายเป็นตำรามาตรฐานที่ใช้กันอย่างแพร่หลายมานานกว่า 40 ปี โดยเฉพาะฉบับพิมพ์ครั้งที่สองในปี 1911 ที่รวมทฤษฎีการแทนค่าของกรุ๊ป (representation theory) ของแฟร์ดินันด์ เกออร์ก โฟรเบเนียส (Ferdinand Georg Frobenius) เข้าไว้ด้วย

บทตั้งที่ใช้ชื่อของเขาแม้ไม่ได้ค้นพบเป็นคนแรก

ผลงานที่รู้จักกันดีที่สุดของเบิร์นไซด์ในปัจจุบันคือ บทตั้งเบิร์นไซด์ (Burnside’s lemma) หรือที่รู้จักกันในชื่อ “ทฤษฎีบทการนับวงโคจร” (orbit-counting theorem) ซึ่งเป็นสูตรที่เชื่อมโยงจำนวนวงโคจรของกรุ๊ปการเรียงสับเปลี่ยนที่กระทำบนเซตหนึ่ง เข้ากับจำนวนจุดตรึงเฉลี่ยของสมาชิกในกรุ๊ปนั้น บทตั้งนี้กลายเป็นเครื่องมือสำคัญในวิชาคอมบินาทอริกส์ (combinatorics) โดยเฉพาะการนับวัตถุที่มีความสมมาตร ที่น่าสนใจคือ แม้บทตั้งนี้จะถูกเรียกด้วยชื่อของเบิร์นไซด์ แต่แท้จริงแล้วถูกค้นพบก่อนหน้านั้นโดยโฟรเบเนียสและโอกุสแต็ง-หลุยส์ โกชี (Augustin-Louis Cauchy) อย่างอิสระต่อกัน ซึ่งเป็นตัวอย่างคลาสสิกของปรากฏการณ์ที่เรียกกันว่า “กฎการตั้งชื่อของสติกเลอร์” ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์

นอกจากนี้ เบิร์นไซด์ยังเป็นผู้เสนอ ปัญหาเบิร์นไซด์ (Burnside problem) ซึ่งตั้งคำถามว่ากรุ๊ปที่สร้างจากจำนวนสมาชิกจำกัดและทุกสมาชิกมีอันดับจำกัดที่มีขอบเขต จะต้องเป็นกรุ๊ปจำกัดเสมอหรือไม่ คำถามนี้กลายเป็นแรงบันดาลใจสำคัญให้กับงานวิจัยด้านทฤษฎีกรุ๊ปตลอดศตวรรษที่ 20 และมีการค้นพบที่สำคัญมากมายจากความพยายามไขปัญหานี้ รวมถึงงานวิจัยที่นำไปสู่รางวัลเหรียญฟิลด์สถึงสองครั้ง

นักกีฬาผู้เป็นทั้งนักคณิตศาสตร์

นอกเหนือจากผลงานทางวิชาการ เบิร์นไซด์ยังเป็นที่รู้จักในฐานะนักกีฬาพายเรือที่มีชื่อเสียง ในช่วงที่เป็นอาจารย์ที่เคมบริดจ์ เขายังทำหน้าที่เป็นโค้ชให้กับทีมพายเรือของมหาวิทยาลัยด้วย จนคำไว้อาลัยของเขาในหนังสือพิมพ์ The Times กลับให้ความสำคัญกับอาชีพนักกีฬาของเขามากกว่าผลงานทางคณิตศาสตร์เสียอีก โดยเรียกเขาว่า “หนึ่งในนักกีฬาเคมบริดจ์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในยุคของเขา”

เบิร์นไซด์ได้รับเกียรติยศทางวิชาการมากมาย รวมถึงเหรียญเดอมอร์แกน (De Morgan Medal) ในปี 1899 และเหรียญรอยัล (Royal Medal) ในปี 1904 จากราชสมาคมแห่งลอนดอน เขาได้รับเลือกเป็นสมาชิกราชสมาคมในปี 1893 และดำรงตำแหน่งประธานสมาคมคณิตศาสตร์แห่งลอนดอน (London Mathematical Society) ระหว่างปี 1906 ถึง 1908 แม้ในการกล่าวสุนทรพจน์ประธานครั้งสุดท้ายของเขาในปี 1908 เขายังคงแสดงความกังวลว่านักคณิตศาสตร์อังกฤษยังให้ความสนใจกับทฤษฎีกรุ๊ปน้อยเกินไป

มรดกทางวิชาการของวิลเลียม เบิร์นไซด์ยังคงมีชีวิตอยู่ในตำราคอมบินาทอริกส์และทฤษฎีกรุ๊ปทั่วโลกมาจนถึงปัจจุบัน เป็นเครื่องยืนยันว่านักวิจัยที่ทำงานอยู่ห่างไกลจากศูนย์กลางวิชาการหลักก็ยังสามารถสร้างผลงานที่เปลี่ยนแปลงวงการคณิตศาสตร์ได้อย่างลึกซึ้ง