ฮันส์ เลวี: ผู้ค้นพบสมการที่ไม่มีคำตอบซึ่งเขย่าวงการสมการเชิงอนุพันธ์

เมื่อวันที่ 23 สิงหาคม ค.ศ. 1988 ณ เมืองเบิร์กลีย์ รัฐแคลิฟอร์เนีย ฮันส์ เลวี (Hans Lewy) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน-อเมริกันเสียชีวิตลงด้วยโรคมะเร็งเม็ดเลือดขาวด้วยวัย 83 ปี เขาทิ้งไว้เบื้องหลังผลงานที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นหนึ่งในความคิดริเริ่มที่ไม่มีใครเทียบได้ในวงการสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและการวิเคราะห์เชิงซ้อนหลายตัวแปรแห่งศตวรรษที่ 20

จากเบรสเลาสู่เกิททิงเงน

เลวีเกิดเมื่อวันที่ 20 ตุลาคม ค.ศ. 1904 ในครอบครัวชาวยิวที่เมืองเบรสเลา แคว้นไซลีเซีย เขาเริ่มศึกษาที่มหาวิทยาลัยเกิททิงเงนในปี 1922 ตามคำแนะนำของครูที่โรงเรียนมัธยมว่ามหาวิทยาลัยเบรสเลาในท้องถิ่นนั้นล้าสมัยเกินไป ระหว่างเรียนเขาต้องหารายได้เสริมด้วยการซ่อมบำรุงทางรถไฟท่ามกลางภาวะเงินเฟ้อรุนแรงในยุคไวมาร์ ที่เกิททิงเงนซึ่งขณะนั้นเป็นศูนย์กลางคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่งหนึ่งของโลก เลวีได้ศึกษาทั้งคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ภายใต้อาจารย์ระดับตำนานมากมาย ทั้งมักซ์ บอร์น, ริชาร์ด คูรันต์, เจมส์ ฟรังค์, เดวิด ฮิลแบร์ท และเอ็ดมุนด์ ลันเดา เขาได้รับปริญญาเอกในปี 1926 ภายใต้การดูแลของคูรันต์ และดำรงตำแหน่งอาจารย์ที่เกิททิงเงนต่ออีกหกปี ระหว่างนั้นได้รับทุนร็อกกีเฟลเลอร์ให้ไปศึกษาต่อที่กรุงโรมและปารีส

ในช่วงเวลานี้เอง เลวีร่วมกับคูรันต์และเคิร์ท ฟรีดริชส์ (Kurt Friedrichs) พัฒนา เงื่อนไขคูรันต์-ฟรีดริชส์-เลวี (Courant-Friedrichs-Lewy condition) หรือที่รู้จักกันในชื่อเงื่อนไข CFL ในบทความปี 1928 ซึ่งกลายเป็นรากฐานสำคัญที่ขาดไม่ได้ในการพัฒนาวิธีเชิงตัวเลขสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย และมีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งต่อการพัฒนาคอมพิวเตอร์ความเร็วสูงในเวลาต่อมา

หนีนาซีสู่เบิร์กลีย์

เมื่อฮิตเลอร์ขึ้นสู่อำนาจในวันที่ 30 มกราคม 1933 เลวีตระหนักทันทีว่าไม่สามารถอยู่ในเยอรมนีต่อไปได้และต้องอพยพออกนอกประเทศ เขาเดินทางไปสหรัฐอเมริกาและได้รับตำแหน่งที่มหาวิทยาลัยบราวน์ระหว่างปี 1933-1935 ก่อนจะย้ายไปเป็นอาจารย์ที่มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์ ในปี 1935 ซึ่งเขาได้รับการเลื่อนตำแหน่งเรื่อยมาจนเป็นศาสตราจารย์เต็มตัวในปี 1945 ในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง เขายังได้ช่วยเหลือความพยายามทำสงครามด้วยการทำงานที่สนามทดสอบอเบอร์ดีน

ในปี 1950 เลวีแสดงให้เห็นถึงความมีคุณธรรมและหลักการอันแน่วแน่ เมื่อเขาปฏิเสธที่จะลงนามในคำสาบานความจงรักภักดีพิเศษที่คณะกรรมการบริหารมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนียกำหนดขึ้น จนถูกไล่ออกพร้อมกับอาจารย์อีกหลายคน แต่ในเวลาต่อมาศาลได้ตัดสินว่าการบังคับให้สาบานนี้ละเมิดสิทธิพลเมือง และเขากับเพื่อนร่วมงานก็ได้รับการฟื้นฟูตำแหน่งกลับคืนมา

สมการที่ไม่มีคำตอบซึ่งเปลี่ยนทิศทางของทั้งวงการ

ผลงานที่โด่งดังที่สุดของเลวีคือสิ่งที่เรียกกันในปัจจุบันว่า ตัวอย่างของเลวี (Lewy’s example) ซึ่งเขานำเสนอในปี 1957 เขาสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นอันดับสอง (second-order linear PDE) ที่มีสัมประสิทธิ์ราบเรียบ (smooth coefficients) แต่กลับไม่มีคำตอบที่หาอนุพันธ์ได้ต่อเนื่อง (continuously differentiable) อยู่เลยในบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิดใด ๆ การค้นพบนี้สร้างความประหลาดใจอย่างมหาศาลให้กับวงการคณิตศาสตร์ เพราะขัดกับความเชื่อพื้นฐานที่ว่าสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์ราบเรียบเพียงพอควรจะมีคำตอบเสมอ ผลลัพธ์นี้เปิดเผยให้เห็นถึงข้อจำกัดพื้นฐานในสมมติฐานเรื่องความสามารถในการแก้ได้ (solvability) ของสมการเชิงอนุพันธ์แบบคลาสสิก และผลักดันให้วงการทั้งหมดต้องหันไปในทิศทางใหม่

นักคณิตศาสตร์ชั้นนำหลายคน รวมถึงหลุยส์ นีเรนเบิร์ก (Louis Nirenberg) และลาร์ส ฮอร์มันเดอร์ (Lars Hörmander) ได้นำตัวอย่างของเลวีไปพัฒนาต่อจนเกิดการเปลี่ยนแปลงสำคัญในทฤษฎีและโครงสร้างของสาขานี้ เลวีได้รับรางวัลสตีล (Steele Prize) จากสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันในปี 1979 เพื่อเป็นเกียรติแก่ผลงานชิ้นนี้

ผลงานที่หลากหลายครอบคลุมหลายสาขา

นอกเหนือจากตัวอย่างอันโด่งดังนี้ เลวียังมีผลงานสำคัญอื่น ๆ อีกมากมาย ในช่วงต้นอาชีพที่เบิร์กลีย์ เขาแก้ปัญหาสำคัญสองข้อ คือปัญหาของมิงคอฟสกี (การสร้างพื้นผิวนูนในปริภูมิสามมิติที่สอดคล้องกับความโค้งที่กำหนดตามทิศทางของเส้นตั้งฉาก) และปัญหาของไวล์ (การฝังท่อร่วมรีมันน์สองมิติที่มีความโค้งเกาส์เซียนเป็นบวกลงในปริภูมิสามมิติ) เขายังมีผลงานสำคัญด้านพื้นผิวขั้นต่ำ (minimal surfaces) และสมการมงฌ์-อองแปร์ (Monge-Ampère equations) ในปี 1986 เขาได้รับรางวัลวูล์ฟ (Wolf Prize) ร่วมกับคูนิฮิโกะ โคไดระ (Kunihiko Kodaira)

เลวีเป็นสมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งชาติสหรัฐฯ สถาบันศิลปะและวิทยาศาสตร์อเมริกัน และอากาเดเมียนาซีโอนาเลเดอีลินเชอีแห่งกรุงโรม เขาได้รับการยกย่องจากเพื่อนร่วมงานว่าเป็นบุคคลที่มีความซื่อสัตย์และหลักการทางศีลธรรมอันแน่วแน่ ตลอดจนเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้แสดงความคิดริเริ่มอันไร้ที่เปรียบตลอดชีวิตการทำงาน แม้จะเกษียณอายุจากเบิร์กลีย์ในปี 1972 แต่เลวีก็ยังคงทำวิจัยคณิตศาสตร์เชิงลึกต่อไปจนวาระสุดท้ายของชีวิต มรดกทางวิชาการของเขายังคงเป็นบทเรียนสำคัญที่นักวิเคราะห์คณิตศาสตร์ทั่วโลกศึกษามาจนถึงปัจจุบัน