โมริทซ์ พาช: ผู้ค้นพบสมมติฐานที่ซ่อนอยู่ในเรขาคณิตของยูคลิดมานานกว่าสองพันปี

เป็นเวลากว่าสองพันปีที่นักคณิตศาสตร์ศึกษาเรขาคณิตของยูคลิดโดยไม่มีใครสังเกตเห็นสมมติฐานแฝง (tacit assumptions) หลายข้อที่ซ่อนอยู่ในระบบการให้เหตุผลนั้น จนกระทั่ง โมริทซ์ พาช (Moritz Pasch) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้ค้นพบและชี้ให้เห็นถึงช่องโหว่เหล่านี้ ก่อนที่จะกลายเป็นหนึ่งในผู้บุกเบิกสำคัญที่สุดของการวางรากฐานเรขาคณิตแบบเข้มงวด (axiomatic geometry) ก่อนยุคของฮิลแบร์ท

ชีวิตช่วงต้นในเมืองเบรสเลา

พาชเกิดเมื่อวันที่ 8 พฤศจิกายน ค.ศ. 1843 ที่เมืองเบรสเลา ราชอาณาจักรปรัสเซีย (ปัจจุบันคือเมืองวรอตซวาฟ ประเทศโปแลนด์) เป็นบุตรของ Simon Pasch พ่อค้าจากเมืองราวิทช์ในแคว้นโปเซน และ Rosalie นามสกุลเดิม Isaac จากเมืองเบิร์นบาวม์ แคว้นโปเซนเช่นกัน

พาชเข้าเรียนที่ Elisabeth Gymnasium ในเมืองเบรสเลา และสำเร็จการศึกษาในปี ค.ศ. 1860 จากนั้นเขาเข้าศึกษาต่อที่มหาวิทยาลัยเบรสเลาโดยตั้งใจจะศึกษาวิชาเคมี แต่ไม่นานก็เปลี่ยนไปศึกษาคณิตศาสตร์แทน ที่มหาวิทยาลัยแห่งนี้เขาได้ผูกมิตรอย่างใกล้ชิดกับ ยาคอบ โรซาเนส (Jakob Rosanes) นักศึกษาคณิตศาสตร์ผู้โดดเด่นอีกคนหนึ่ง ซึ่งกลายเป็นเพื่อนตลอดชีวิตของเขา

เขาได้รับการสอนจากอาจารย์ผู้มีชื่อเสียงหลายท่าน ทั้ง Heinrich Schröter, Ferdinand Joachimsthal, Rudolf Lipschitz, O.E. Meyer และ Paul Bachmann พาชได้รับปริญญาเอกเมื่อวันที่ 21 สิงหาคม ค.ศ. 1865 ด้วยวิทยานิพนธ์เรื่อง “De duarum sectionem conicarum in circulos projectione” โดยมี Schröter เป็นอาจารย์ที่ปรึกษา ซึ่งพาชได้อุทิศวิทยานิพนธ์นี้ให้กับทั้ง Schröter และ Kambly ครูสอนคณิตศาสตร์ของเขาที่ Gymnasium

เส้นทางวิชาการที่มหาวิทยาลัยกีสเซิน

หลังสำเร็จการศึกษา พาชเดินทางไปศึกษาต่อที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลินพร้อมกับโรซาเนสเพื่อนของเขา ซึ่งที่นั่นเขาได้ศึกษาภายใต้การดูแลของ คาร์ล ไวเออร์ชตราส (Weierstrass) และ เลโอโปลด์ โครเนกเกอร์ (Kronecker) นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงระดับตำนาน

เมื่อบิดาของพาชเสียชีวิตที่เมืองเบรสเลาในปี ค.ศ. 1866 เขาต้องระงับการทำงานวิจัยเพื่อ habilitation ไว้ชั่วคราวเพื่อช่วยดูแลครอบครัว แต่ในที่สุดเขาก็สามารถกลับมาทำงานวิจัยต่อจนสำเร็จ และยื่นวิทยานิพนธ์ habilitation เรื่อง “Zur Theorie der Komplexe und Kongruenzen von Geraden” ต่อมหาวิทยาลัย Justus-Liebig แห่งเมืองกีสเซินในเดือนพฤศจิกายน ค.ศ. 1870

พาชได้รับการเลื่อนตำแหน่งเป็นศาสตราจารย์วิสามัญ (extraordinary professor) ในเดือนสิงหาคม ค.ศ. 1873 และสองปีต่อมาได้รับตำแหน่งศาสตราจารย์เต็มตัว (ordinary professor) หลังจากที่เขาปฏิเสธข้อเสนอตำแหน่งเดียวกันจากมหาวิทยาลัยเบรสเลา ในปี ค.ศ. 1888 เขาได้รับตำแหน่งประธานที่ว่างลงหลังการเสียชีวิตของ Heinrich Baltzer

บิดาแห่งวิธีการเชิงสัจพจน์สมัยใหม่

ผลงานที่สร้างชื่อเสียงให้กับพาชมากที่สุดและกลายเป็นมรดกสำคัญที่สุดของเขาปรากฏอยู่ในหนังสือ Vorlesungen über neuere Geometrie (การบรรยายเรื่องเรขาคณิตสมัยใหม่) ซึ่งตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1882 หนังสือเล่มนี้เรียกร้องให้มีการวางรากฐานเรขาคณิตแบบยุคลิดบนแนวคิดพื้นฐาน (primitive notions) และสัจพจน์ (axioms) ที่มีความแม่นยำมากยิ่งขึ้น รวมถึงเรียกร้องให้มีความระมัดระวังมากขึ้นในวิธีการอนุมาน (deductive methods) ที่ใช้ในการพัฒนาเนื้อหาวิชานี้

พาชได้ชี้ให้เห็นถึงสมมติฐานแฝงจำนวนหนึ่งใน Elements ของยูคลิด ที่ไม่เคยมีใครสังเกตเห็นมาก่อนตลอดประวัติศาสตร์กว่าสองพันปี เขาโต้แย้งว่าการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ไม่ควรอ้างอิงถึงการตีความทางกายภาพ (physical interpretation) ของคำศัพท์พื้นฐานต่าง ๆ แต่ควรอาศัยเพียงการดำเนินการเชิงรูปนัย (formal manipulations) ที่ได้รับการรับรองโดยสัจพจน์เท่านั้น

แนวคิดนี้ถือเป็นการปฏิวัติวิธีคิดเกี่ยวกับเรขาคณิตอย่างลึกซึ้ง และกลายเป็นรากฐานสำคัญของวิธีการเชิงสัจพจน์ (axiomatic method) ตามความเข้าใจในปัจจุบัน ผลงานของพาชในเรื่องนี้ได้กลายเป็นแรงบันดาลใจสำคัญให้กับผลงานของ จูเซปเป เปอาโน (Giuseppe Peano) และ เดวิด ฮิลแบร์ท (David Hilbert) ในการปรับปรุงระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตในเวลาต่อมา ซึ่งฮิลแบร์ทได้พัฒนาต่อยอดจนกลายเป็นระบบสัจพจน์เรขาคณิตที่สมบูรณ์และเข้มงวดที่สุดในหนังสือ Grundlagen der Geometrie ของเขา

สัจพจน์ของพาช

ผลงานที่มีชื่อเสียงที่สุดของพาชในวงการเรขาคณิตคือ สัจพจน์ของพาช (Pasch’s axiom) ซึ่งกล่าวว่า ในระนาบหนึ่ง หากเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดผ่านด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม เส้นตรงนั้นก็จะต้องตัดผ่านอีกด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมนั้นด้วย แม้ข้อความนี้จะดูเหมือนเป็นเรื่องที่ชัดเจนและง่ายดายในทางสัญชาตญาณ แต่กลับไม่สามารถพิสูจน์ได้จากสัจพจน์ดั้งเดิมของยูคลิด และต้องได้รับการยอมรับให้เป็นสัจพจน์เพิ่มเติมที่แยกต่างหาก

การค้นพบนี้แสดงให้เห็นถึงความเฉียบแหลมของพาชในการวิเคราะห์โครงสร้างเชิงตรรกะของเรขาคณิต และชี้ให้เห็นว่าแม้แต่ระบบที่ดูเหมือนสมบูรณ์และผ่านการตรวจสอบมานานนับพันปีอย่างเรขาคณิตของยูคลิด ก็ยังคงมีช่องว่างทางตรรกะที่ต้องได้รับการอุดให้สมบูรณ์

ครูผู้สร้างนักคณิตศาสตร์รุ่นใหม่

ตลอดอาชีพการงานที่มหาวิทยาลัยกีสเซินซึ่งกินเวลานานถึง 65 ปี พาชดูแลวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกมากถึง 30 ชิ้น ซึ่งสะท้อนให้เห็นถึงบทบาทสำคัญของเขาในการสร้างนักคณิตศาสตร์รุ่นใหม่ให้กับวงการ นอกเหนือจากงานวิชาการ เขายังมีบทบาทสำคัญด้านการบริหารมหาวิทยาลัย โดยดำรงตำแหน่งคณบดีในปี ค.ศ. 1883 และอธิการบดี (rector) ในช่วงปี ค.ศ. 1893–1894

ผลงานในช่วง 17 ปีแรกของอาชีพการงานของพาชเน้นไปที่เรขาคณิตพีชคณิต (algebraic geometry) ก่อนที่เขาจะหันมาทุ่มเทให้กับงานด้านรากฐานของคณิตศาสตร์ (foundations) ซึ่งเป็นงานที่สร้างชื่อเสียงให้กับเขามากที่สุดในเวลาต่อมา บทความชิ้นแรก ๆ ของเขาเขียนร่วมกับ J. Rosanes เพื่อนตลอดชีวิตของเขา

เกียรติยศในบั้นปลายชีวิต

พาชตัดสินใจเกษียณอายุในปี ค.ศ. 1911 เพื่ออุทิศตนให้กับงานวิจัยทางวิทยาศาสตร์อย่างเต็มที่ ในโอกาสวันเกิดครบรอบ 80 ปีของเขา เขาได้รับปริญญาดุษฎีบัณฑิตกิตติมศักดิ์จากมหาวิทยาลัยแฟรงก์เฟิร์ตและไฟรบูร์ก นอกจากนี้เขายังเป็นสมาชิกของ Deutsche Mathematiker-Vereinigung (สมาคมคณิตศาสตร์เยอรมัน)

ชีวิตส่วนตัวของพาชนั้นเรียบง่าย แม้จะต้องเผชิญกับความโศกเศร้าจากการเสียชีวิตก่อนวัยอันควรของภรรยาและบุตรสาวคนหนึ่งจากบุตรสาวสองคนของเขา

บั้นปลายชีวิตและมรดกที่ทิ้งไว้

โมริทซ์ พาชเสียชีวิตเมื่อวันที่ 20 กันยายน ค.ศ. 1930 ที่เมืองบาดฮอมบวร์ก ประเทศเยอรมนี ขณะอายุ 86 ปี ระหว่างการเดินทางท่องเที่ยวพักผ่อนนอกเมืองกีสเซิน

ตลอดชีวิตการทำงาน พาชได้สร้างมรดกทางความคิดที่เปลี่ยนแปลงวิธีที่นักคณิตศาสตร์เข้าใจรากฐานของเรขาคณิตไปตลอดกาล วิธีการเชิงสัจพจน์ที่เขาริเริ่มไว้กลายเป็นมาตรฐานที่นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกยึดถือปฏิบัติมาจนถึงปัจจุบัน และสัจพจน์ของพาชยังคงเป็นส่วนสำคัญของการศึกษาเรขาคณิตเชิงสัจพจน์ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับสูงทั่วโลก เรื่องราวของพาชเป็นเครื่องเตือนใจว่า แม้ในสาขาวิชาที่ดูเหมือนจะได้รับการศึกษาอย่างละเอียดถี่ถ้วนที่สุดมาแล้วนับพันปี ก็ยังคงมีช่องว่างที่รอการค้นพบสำหรับผู้ที่มีสายตาอันเฉียบแหลมพอจะมองเห็น