แฮร์เบิร์ต ไซเฟิร์ต: ผู้บุกเบิกทอพอโลยีท่อร่วม 3 มิติ

Herbert Seifert (1907–1996)

นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้มีผลงานสำคัญอย่างมากด้านทอพอโลยี เจ้าของ “ข้อความคาดการณ์ไซเฟิร์ต” (Seifert conjecture) ในทฤษฎีระบบพลวัต และ “ปริภูมิเส้นใยไซเฟิร์ต” (Seifert fibered space) ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญของเรขาคณิตท่อร่วม 3 มิติ

ชีวิตช่วงต้นในแซกโซนี

แฮร์เบิร์ต คาร์ล โยฮันเนส ไซเฟิร์ต เกิดเมื่อวันที่ 27 พฤษภาคม ค.ศ. 1907 ที่เมืองแบร์นสตัดท์ รัฐแซกโซนี ประเทศเยอรมนี บิดาของเขาเป็นข้าราชการระดับกลางในราชสำนัก ครอบครัวย้ายไปอยู่ที่เมืองเบาท์เซินในเวลาต่อมา ซึ่งไซเฟิร์ตเข้าเรียนชั้นประถมและมัธยมที่นั่น

ในปี 1926 ไซเฟิร์ตเข้าศึกษาต่อที่มหาวิทยาลัยเทคนิคเดรสเดิน และจุดเปลี่ยนสำคัญของชีวิตเกิดขึ้นในปี 1927 เมื่อเขาได้เข้าเรียนวิชาทอพอโลยีกับวิลเลียม เทรลฟอลล์ (William Threlfall) ซึ่งขณะนั้นเป็นอาจารย์พิเศษ (Privatdozent) ที่มหาวิทยาลัยแห่งนี้ การพบกันครั้งนี้ไม่เพียงจุดประกายให้ไซเฟิร์ตหลงใหลในวิชาทอพอโลยีอย่างจริงจัง แต่ยังนำไปสู่มิตรภาพและความร่วมมือทางวิชาการที่ยาวนานระหว่างทั้งคู่ตลอดชีวิต

วิทยานิพนธ์ที่ให้กำเนิด “ปริภูมิเส้นใยไซเฟิร์ต”

ไซเฟิร์ตได้รับปริญญาเอกครั้งแรกจากเดรสเดินในปี 1930 ด้วยผลงานเกี่ยวกับท่อร่วมปิดสามมิติ ซึ่งมีเนื้อหาส่วนหนึ่งที่ภายหลังรู้จักกันในชื่อ “ทฤษฎีบทไซเฟิร์ต-ฟานแคมเปิน” (Seifert–van Kampen theorem) จากนั้นเขายื่นวิทยานิพนธ์อีกฉบับในชื่อ Topologie 3-dimensionaler gefaserter Räume (“ทอพอโลยีของปริภูมิเส้นใย 3 มิติ”) ต่อมหาวิทยาลัยไลพ์ซิกเมื่อวันที่ 1 กุมภาพันธ์ 1932 และสอบปากเปล่าผ่านในวันที่ 3 มีนาคมปีเดียวกัน ในวิทยานิพนธ์ฉบับนี้เองที่ไซเฟิร์ตเป็นผู้บัญญัติคำว่า “ปริภูมิเส้นใย” (fibre space) ขึ้นเป็นครั้งแรก แม้นิยามในตอนนั้นจะยังไม่ตรงกับที่ใช้กันในปัจจุบันทั้งหมดก็ตาม ท่อร่วมที่เขาศึกษาในงานชิ้นนี้ภายหลังได้รับการตั้งชื่อว่า “ปริภูมิเส้นใยไซเฟิร์ต” (Seifert fibered space) ซึ่งกลายเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำคัญในการจำแนกและศึกษาท่อร่วม 3 มิติมาจนถึงปัจจุบัน

ไซเฟิร์ตยังคงร่วมงานกับเทรลฟอลล์อย่างต่อเนื่อง และในปี 1934 ซึ่งเป็นปีที่เขาได้รับตำแหน่งฮาบิลิทาซีอ็อง (habilitation) ทั้งคู่ได้ตีพิมพ์ตำรา Lehrbuch der Topologie (“ตำราทอพอโลยี”) ร่วมกัน ซึ่งเป็นหนึ่งในตำราทอพอโลยีที่มีอิทธิพลมากที่สุดเล่มหนึ่งในยุคนั้น

ตำแหน่งที่ไฮเดลเบิร์กในช่วงสงคราม

ในปี 1935 ไซเฟิร์ตได้รับเรียกตัวไปดำรงตำแหน่งที่มหาวิทยาลัยไฮเดลเบิร์ก ซึ่งเป็นตำแหน่งที่ว่างลงจากการไล่ออกศาสตราจารย์ชาวยิวในยุคนาซี เป็นช่วงเวลาที่ยากลำบากทางการเมืองและจริยธรรมสำหรับนักวิชาการเยอรมันหลายคน แต่หลังสงครามสิ้นสุดลง ไซเฟิร์ตกลับเป็นหนึ่งในศาสตราจารย์ชาวเยอรมันไม่กี่คนที่ฝ่ายสัมพันธมิตรให้ความไว้วางใจในช่วงกระบวนการกำจัดอิทธิพลนาซี (denazification) และยังคงดำรงตำแหน่งที่ไฮเดลเบิร์กต่อมาเกือบตลอดชีวิตการทำงาน

ในปี 1948–1949 เขาเดินทางไปเยือนสถาบันการศึกษาขั้นสูง (Institute for Advanced Study) ที่พรินซ์ตัน และเกษียณอายุจากไฮเดลเบิร์กในปี 1975

ข้อความคาดการณ์ไซเฟิร์ต

ในปี 1950 ไซเฟิร์ตตีพิมพ์บทความที่ตั้งคำถามว่า สนามเวกเตอร์ต่อเนื่องแบบไม่เป็นเอกฐาน (nonsingular continuous vector field) บนทรงกลม 3 มิติ (3-sphere) จำเป็นต้องมีวงโคจรปิด (closed orbit) เสมอหรือไม่ แม้ตัวไซเฟิร์ตเองจะยังไม่ได้ตั้งข้อความนี้เป็น “ข้อความคาดการณ์” อย่างเป็นทางการ แต่เขาก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าข้อความนี้เป็นจริงสำหรับกรณีการแปรผันเล็กน้อย (perturbation) ของการส่งแบบฮอพฟ์ (Hopf fibration) คำถามนี้จึงเป็นที่รู้จักกันในเวลาต่อมาว่า “ข้อความคาดการณ์ไซเฟิร์ต” (Seifert conjecture)

ข้อความคาดการณ์นี้ถูกพิสูจน์ว่าไม่เป็นจริงโดยพอล ชไวท์เซอร์ (Paul Schweitzer) ในปี 1974 ซึ่งสร้างตัวอย่างค้าน (counterexample) ในกรณีที่สนามเวกเตอร์เรียบระดับ C¹ ขึ้นมาได้สำเร็จ ก่อนที่คริสตีนา คูเปอร์เบิร์ก (Krystyna Kuperberg) นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์-อเมริกัน จะสามารถสร้างตัวอย่างค้านที่เรียบระดับ C∞ (เรียบอนันต์) ขึ้นมาได้สำเร็จในปี 1994 ซึ่งถือเป็นการปิดปัญหานี้ลงอย่างสมบูรณ์

ผลงานอื่นด้านทอพอโลยีและทฤษฎีปม

นอกจากปริภูมิเส้นใยไซเฟิร์ตและข้อความคาดการณ์ไซเฟิร์ตแล้ว ไซเฟิร์ตยังมีผลงานสำคัญด้านทฤษฎีปม (knot theory) อีกหลายชิ้น เช่น “ผิวไซเฟิร์ต” (Seifert surface) ซึ่งเป็นผิวที่มีขอบเป็นปมหรือการเชื่อมโยง (link) ที่กำหนดให้ “เมทริกซ์ไซเฟิร์ต” (Seifert matrix) ที่ใช้คำนวณค่าคงที่ของปม และ “ขั้นตอนวิธีไซเฟิร์ต” (Seifert algorithm) สำหรับสร้างผิวไซเฟิร์ตจากไดอะแกรมปม นอกจากนี้เขายังร่วมงานกับคอนสแตนติน เวเบอร์ (Constantin Weber) สร้างท่อร่วมที่รู้จักกันในชื่อ “ปริภูมิไซเฟิร์ต-เวเบอร์” (Seifert–Weber space)

ลูกศิษย์และอิทธิพลทางวิชาการ

ตลอดอาชีพการสอนที่ไฮเดลเบิร์ก ไซเฟิร์ตได้ผลิตลูกศิษย์ปริญญาเอกที่มีชื่อเสียงหลายคน เช่น อัลเบรชท์ โดลด์ (Albrecht Dold) และดีเทอร์ พุพเพอ (Dieter Puppe) ซึ่งต่างก็กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลในสาขาทอพอโลยีเชิงพีชคณิตในเวลาต่อมา

บั้นปลายชีวิต

ไซเฟิร์ตเสียชีวิตเมื่อวันที่ 1 ตุลาคม ค.ศ. 1996 ที่เมืองไฮเดลเบิร์ก ขณะอายุ 89 ปี

มรดกที่ทิ้งไว้

ผลงานของแฮร์เบิร์ต ไซเฟิร์ตวางรากฐานสำคัญให้กับการศึกษาท่อร่วม 3 มิติในยุคต่อมา โดยเฉพาะแนวคิดปริภูมิเส้นใยไซเฟิร์ตที่กลายเป็นหนึ่งใน 8 เรขาคณิตแบบจำลองของเทอร์สตัน (Thurston geometries) อันเป็นรากฐานสำคัญของการจำแนกท่อร่วม 3 มิติทั้งหมด ขณะที่ข้อความคาดการณ์ไซเฟิร์ตก็ได้กระตุ้นให้เกิดงานวิจัยสำคัญหลายชิ้นในทฤษฎีระบบพลวัตและทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์ตลอดช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 จนถึงปัจจุบัน