แม่ชีซีลีน ฟาเซนไมเออร์: อัจฉริยะผู้ถูกลืมแห่งคอมบินาทอริกส์

Mary Celine Fasenmyer (1906–1996)

นักคณิตศาสตร์หญิงชาวอเมริกันผู้เป็นทั้งแม่ชีคาทอลิกและนักวิจัย ผู้บุกเบิกเทคนิคสำคัญในคอมบินาทอริกส์ที่รู้จักกันในชื่อ “วิธีของซิสเตอร์ซีลีน” (Sister Celine’s method) ซึ่งต่อมากลายเป็นรากฐานสำคัญของอัลกอริทึม WZ ที่ใช้พิสูจน์เอกลักษณ์ทางคอมบินาทอริกส์ด้วยคอมพิวเตอร์

ชีวิตช่วงต้นในเพนซิลเวเนีย

แมรี ซีลีน ฟาเซนไมเออร์ เกิดเมื่อวันที่ 4 ตุลาคม ค.ศ. 1906 ที่เมืองคราวน์ รัฐเพนซิลเวเนีย สหรัฐอเมริกา เป็นบุตรของจอร์จและซีซีเลีย เลท ฟาเซนไมเออร์ เธอเข้าศึกษาที่วิทยาลัยเมอร์ซีเฮิร์สต์ (Mercyhurst College) ในเมืองอีรี รัฐเพนซิลเวเนีย ซึ่งดำเนินการโดยคณะภคินีแห่งเมตตาธรรม (Sisters of Mercy) หลังจากวิทยาลัยแห่งนี้ก่อตั้งขึ้นในปี 1926

ในปี 1933 เธอสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรี (A.B.) จากเมอร์ซีเฮิร์สต์ และในปีเดียวกันนั้นเองเธอก็ได้ปฏิญาณตนเข้าร่วมคณะภคินีแห่งเมตตาธรรมอย่างเป็นทางการ กลายเป็น “ซิสเตอร์ซีลีน” นับแต่นั้นมา

เส้นทางสู่ปริญญาเอกที่มิชิแกน

หลังจากปฏิญาณตนแล้ว ซิสเตอร์ซีลีนเข้าศึกษาต่อระดับบัณฑิตศึกษาที่มหาวิทยาลัยมิชิแกน โดยมีเอิร์ล เรนวิลล์ (Earl Rainville) เป็นอาจารย์ที่ปรึกษา ซึ่งเธอยกย่องว่าเป็นครูที่ยอดเยี่ยมอย่างยิ่งและเป็นผู้มีอิทธิพลสำคัญต่อเส้นทางวิชาการของเธอ เธอทำวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกเสร็จสิ้นในปี 1945 ภายใต้ชื่อ Some generalized hypergeometric polynomials (“พหุนามไฮเพอร์จีโอเมตริกวางนัยทั่วไปบางชนิด”) และได้รับปริญญาเอกอย่างเป็นทางการในปี 1946 ซึ่งถือเป็นวิทยานิพนธ์ที่ยอดเยี่ยมมาก

ตลอดชีวิตการวิจัย ซิสเตอร์ซีลีนตีพิมพ์ผลงานทางคณิตศาสตร์เพียงสองชิ้นเท่านั้น คือบทความในปี 1947 เรื่อง “Some generalized hypergeometric polynomials” ในวารสาร Bulletin of the American Mathematical Society และบทความในปี 1949 เรื่อง “A note on pure recurrence relations” ในวารสาร American Mathematical Monthly แต่ผลงานเพียงสองชิ้นนี้กลับมีอิทธิพลมหาศาลต่อวงการคณิตศาสตร์ในเวลาต่อมา

วิธีของซิสเตอร์ซีลีน

เทคนิคที่ซิสเตอร์ซีลีนคิดค้นขึ้นในวิทยานิพนธ์ของเธอเป็นวิธีการอย่างเป็นระบบสำหรับพิสูจน์เอกลักษณ์ของผลรวมที่เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์ทวินาม (binomial coefficient) และพจน์ไฮเพอร์จีโอเมตริกแบบเหมาะสม (proper hypergeometric term) โดยแนวคิดหลักคือ เมื่อกำหนดผลรวม S(n) ที่นิยามจากการรวมพจน์ H(n,k) เหนือค่า k ทั้งหมด วิธีของเธอจะสร้างความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (recurrence relation) เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์เป็นพหุนามสำหรับผลรวมนั้นขึ้นมาโดยอัตโนมัติ จากนั้นจึงตรวจสอบว่ารูปแบบปิด (closed form) ที่คาดการณ์ไว้สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนบังเกิดนั้นหรือไม่

ก่อนหน้าวิธีการของเธอ การพิสูจน์เอกลักษณ์ทำนองนี้ไม่มีรูปแบบหรือขั้นตอนวิธีที่แน่นอน นักคณิตศาสตร์ต้องอาศัยไหวพริบเฉพาะกรณีไปทีละปัญหา ซึ่งบางครั้งต้องใช้เวลานานหลายเดือนหรือหลายปีกว่าจะพิสูจน์สำเร็จ

จากวิทยานิพนธ์ที่ถูกลืมสู่ “ทฤษฎี WZ”

หลังสำเร็จการศึกษา ซิสเตอร์ซีลีนกลับไปสอนที่วิทยาลัยเมอร์ซีเฮิร์สต์ ซึ่งเป็นสถาบันการศึกษาของคณะภคินีแห่งเมตตาธรรม และสอนวิชาคณิตศาสตร์อยู่ที่นั่นเป็นเวลาหลายสิบปี ผลงานวิจัยของเธอไม่ได้รับความสนใจในวงกว้างมากนักในช่วงแรก จนกระทั่งปี 1960 ที่เอิร์ล เรนวิลล์ อาจารย์ที่ปรึกษาของเธอได้นำผลลัพธ์จากวิทยานิพนธ์มาเผยแพร่ในตำราเรียนของเขาเอง โดยอุทิศบททั้งบทให้กับเทคนิคนี้ในชื่อ “เทคนิคของซิสเตอร์ซีลีน” (Sister Celine’s Technique) ซึ่งช่วยให้ผลงานของเธอเข้าถึงผู้อ่านได้กว้างขวางขึ้น

จุดเปลี่ยนสำคัญที่แท้จริงเกิดขึ้นในปี 1978 เมื่อโดรอน ไซล์เบอร์เกอร์ (Doron Zeilberger) ตระหนักถึงความสำคัญของวิธีการนี้ และนำมาใช้พิสูจน์เอกลักษณ์ทางคอมบินาทอริกส์อย่างเป็นระบบ ต่อมาไซล์เบอร์เกอร์ได้ร่วมมือกับเฮอร์เบิร์ต วิลฟ์ (Herbert Wilf) ผลักดันแนวคิดของซิสเตอร์ซีลีนให้ก้าวไปอีกขั้น จนพัฒนาเป็นสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ “ทฤษฎี WZ” (WZ theory) ซึ่งเป็นวิธีการที่ให้บทพิสูจน์อันสง่างามสำหรับเอกลักษณ์คอมบินาทอริกส์หลายประเภท พร้อมทั้งเป็นขั้นตอนวิธีสำหรับสร้างเอกลักษณ์ใหม่จากเอกลักษณ์เดิมได้ด้วย

แนวทางเชิงขั้นตอนวิธีของซิสเตอร์ซีลีนเหมาะสมอย่างยิ่งกับการประมวลผลด้วยคอมพิวเตอร์ และความสำคัญที่แท้จริงของผลงานดั้งเดิมของเธอก็ปรากฏชัดเจนขึ้นในภายหลัง เมื่อนำไปสู่เทคนิคการคำนวณที่ทรงพลังเหล่านี้ ไซล์เบอร์เกอร์เองยังเคยกล่าวถึงวิทยานิพนธ์ของซิสเตอร์ซีลีนว่าเป็น “ผลงานแห่งอัจฉริยภาพ” (a work of genius) และระบุว่าก่อนที่วิธีการของเธอจะปรากฏ นักคณิตศาสตร์ต้องใช้เวลาหลายเดือนหรือหลายปีกว่าจะ “พิสูจน์” บางสิ่งให้สำเร็จ

เฮอร์เบิร์ต วิลฟ์และไซล์เบอร์เกอร์ยังร่วมกันเขียนหนังสือ A=B (1996) ซึ่งอุทิศถึงสองบทให้กับผลงานของซิสเตอร์ซีลีนโดยเฉพาะ ถือเป็นหนังสือสำคัญที่วางรากฐานให้กับสาขาการพิสูจน์เอกลักษณ์ด้วยคอมพิวเตอร์ (computer-aided identity proving) ในเวลาต่อมา

พหุนามของซิสเตอร์ซีลีน

นอกจากวิธีการที่ใช้ชื่อของเธอแล้ว พหุนามไฮเพอร์จีโอเมตริกที่เธอศึกษาในวิทยานิพนธ์ยังเป็นที่รู้จักกันในชื่อ “พหุนามของซิสเตอร์ซีลีน” (Sister Celine’s polynomials) ซึ่งยังคงถูกอ้างอิงถึงในงานวิจัยด้านฟังก์ชันพิเศษและคอมบินาทอริกส์จนถึงปัจจุบัน

เรื่องที่น่าสนใจคือ แม้ผลงานของเธอจะกลายเป็นรากฐานสำคัญของเทคนิคที่ใช้คอมพิวเตอร์ในการพิสูจน์เอกลักษณ์ แต่ตัวซิสเตอร์ซีลีนเองกลับไม่ได้สนใจคอมพิวเตอร์เป็นพิเศษแต่อย่างใด

บั้นปลายชีวิต

ซิสเตอร์ซีลีนใช้ชีวิตส่วนใหญ่หลังสำเร็จการศึกษาอยู่ที่วิทยาลัยเมอร์ซีเฮิร์สต์ในฐานะครูผู้สอนคณิตศาสตร์ เธอเสียชีวิตเมื่อวันที่ 27 ธันวาคม ค.ศ. 1996 ที่เมืองอีรี รัฐเพนซิลเวเนีย ขณะอายุ 90 ปี

มรดกที่ทิ้งไว้

แมรี ซีลีน ฟาเซนไมเออร์ ถือเป็นตัวอย่างสำคัญของนักคณิตศาสตร์ผู้มีอิทธิพลมหาศาลทั้งที่ตีพิมพ์ผลงานน้อยมากในช่วงชีวิตของตนเอง ผลงานบุกเบิกของเธอในวิทยานิพนธ์ปี 1945 ต้องรอเกือบสามทศวรรษกว่าจะได้รับการยอมรับในคุณค่าที่แท้จริง แต่เมื่อถูกค้นพบใหม่โดยไซล์เบอร์เกอร์และวิลฟ์ วิธีของซิสเตอร์ซีลีนก็กลายเป็นหนึ่งในรากฐานสำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์เชิงทดลองสมัยใหม่และการพิสูจน์เอกลักษณ์ด้วยคอมพิวเตอร์ ปัจจุบันเธอได้รับการยกย่องว่าเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ฉลาดล้ำลึกที่สุดคนหนึ่งแห่งศตวรรษที่ 20 แม้จะเป็นหนึ่งในผู้ที่ไม่ค่อยมีใครรู้จักชื่อเสียงมากนักก็ตาม