โจเซฟ เวดเดอร์เบิร์น: ผู้วางโครงสร้างให้พีชคณิตเชิงสมาคม

Joseph Wedderburn (1882–1948)

นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตเจ้าของ “ทฤษฎีบทของเวดเดอร์เบิร์น” (Wedderburn’s theorem) ที่ระบุว่าริงการหารจำกัด (finite division ring) ทุกตัวต้องมีสมบัติการสลับที่ จึงเป็นสนาม (field) เสมอ และยังมีผลงานบุกเบิกสำคัญด้านโครงสร้างของพีชคณิตเชิงสมาคม (associative algebra)

ชีวิตช่วงต้นในสกอตแลนด์

โจเซฟ เฮนรี แมคลาแกน เวดเดอร์เบิร์น เกิดเมื่อวันที่ 2 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 1882 ที่เมืองฟอร์ฟาร์ แคว้นแองกัส ประเทศสกอตแลนด์ เป็นบุตรคนที่สิบจากพี่น้องทั้งหมดสิบสี่คน เขาเข้าเรียนที่ฟอร์ฟาร์อะคาเดมีและวิทยาลัยจอร์จ วัตสัน ในเมืองเอดินบะระ ก่อนจะเข้าศึกษาต่อที่มหาวิทยาลัยเอดินบะระในปี 1898 และสำเร็จการศึกษาด้วยเกียรตินิยมอันดับหนึ่งสาขาคณิตศาสตร์ในปี 1903 ปีเดียวกันนั้นเขาได้รับเลือกเป็นสมาชิกของ Royal Society of Edinburgh

การศึกษาต่อในยุโรปและอเมริกา

หลังสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรี เวดเดอร์เบิร์นเดินทางไปศึกษาต่อที่เมืองไลพ์ซิกและเบอร์ลิน ก่อนจะได้รับทุน Carnegie Scholarship ไปศึกษาที่มหาวิทยาลัยชิคาโกระหว่างปี 1904–1905 ซึ่งเป็นช่วงเวลาสำคัญที่เขาได้พบปะกับนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันหลายคน รวมถึงลีโอนาร์ด ดิกสัน (Leonard Dickson) ผู้มีบทบาทสำคัญต่อผลงานวิจัยในเวลาต่อมาของเขา เวดเดอร์เบิร์นสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอก (D.Sc.) จากมหาวิทยาลัยเอดินบะระในปี 1908 โดยมีจอร์จ ไครสตัล (George Chrystal) เป็นอาจารย์ที่ปรึกษา

อาชีพการงานที่พรินซ์ตัน

ในปี 1909 เวดเดอร์เบิร์นเข้าร่วมมหาวิทยาลัยพรินซ์ตันในตำแหน่ง Preceptor สาขาคณิตศาสตร์ และได้รับการเลื่อนตำแหน่งเป็นรองศาสตราจารย์ในปี 1921 เขาทำงานอยู่ที่พรินซ์ตันตลอดอาชีพการงานที่เหลือ และดำรงตำแหน่งบรรณาธิการของวารสาร Annals of Mathematics จนถึงปี 1928

ระหว่างสงครามโลกครั้งที่หนึ่ง เวดเดอร์เบิร์นเข้ารับราชการในกองทัพอังกฤษ โดยมีบทบาทสำคัญในการคิดค้นอุปกรณ์หาตำแหน่งปืนใหญ่จากเสียง (sound-ranging equipment) ซึ่งเป็นเทคโนโลยีสำคัญในยุคนั้นสำหรับระบุตำแหน่งปืนใหญ่ของฝ่ายศัตรูจากคลื่นเสียง เวดเดอร์เบิร์นเกษียณอายุก่อนกำหนดในปี 1945 และดูแลนักศึกษาปริญญาเอกเพียงสามคนตลอดอาชีพการสอน หนึ่งในนั้นคือนาธาน จาค็อบสัน (Nathan Jacobson) ผู้กลายเป็นนักพีชคณิตที่มีชื่อเสียงในเวลาต่อมา

ทฤษฎีบทของเวดเดอร์เบิร์น

ผลงานที่สร้างชื่อเสียงให้เวดเดอร์เบิร์นมากที่สุดคือทฤษฎีบทที่ตีพิมพ์ในปี 1905 ซึ่งพิสูจน์ว่าริงการหารจำกัด (finite division ring) ทุกตัวจะต้องมีสมบัติการสลับที่ (commutative) เสมอ นั่นหมายความว่าริงการหารจำกัดทุกตัวก็คือสนาม (field) นั่นเอง ผลลัพธ์นี้ดูเรียบง่ายในการตั้งข้อความ แต่มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อโครงสร้างของพีชคณิตนามธรรม เพราะแสดงให้เห็นว่าในกรณีจำกัด ไม่มีความแตกต่างระหว่างแนวคิดเรื่องริงการหารและสนามเลย

บทความต้นฉบับของเวดเดอร์เบิร์นในปี 1905 นำเสนอบทพิสูจน์ถึงสามวิธี แต่ภายหลังพบว่าบทพิสูจน์แรกมีข้อบกพร่องเชิงตรรกะอยู่ นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์คาเรน พาร์แชลล์ (Karen Parshall) ได้ศึกษาเรื่องนี้อย่างละเอียดในเวลาต่อมา และสรุปว่าลีโอนาร์ด ดิกสันควรได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้เสนอบทพิสูจน์ที่ถูกต้องสมบูรณ์เป็นคนแรก แม้ทฤษฎีบทนี้จะยังคงใช้ชื่อของเวดเดอร์เบิร์นต่อไปตามธรรมเนียมทางประวัติศาสตร์ก็ตาม

โครงสร้างของพีชคณิตเชิงสมาคม

นอกจากทฤษฎีบทข้างต้นแล้ว เวดเดอร์เบิร์นยังมีผลงานบุกเบิกสำคัญอีกชิ้นหนึ่งในบทความปี 1907 เรื่อง “On hypercomplex numbers” ซึ่งเป็นการจำแนกโครงสร้างของพีชคณิตแบบซิมเปิล (simple algebra) และแบบเซมิซิมเปิล (semisimple algebra) อย่างเป็นระบบ เขาแสดงให้เห็นว่าพีชคณิตเซมิซิมเปิลมิติจำกัดใด ๆ สามารถเขียนเป็นผลรวมตรง (direct sum) ของพีชคณิตซิมเปิลได้ และพีชคณิตซิมเปิลทุกตัวก็ไอโซมอร์ฟิกกับพีชคณิตเมทริกซ์เหนือริงการหารตัวหนึ่งเสมอ

ผลลัพธ์นี้ถือเป็นก้าวสำคัญที่วางรากฐานให้กับการศึกษาโครงสร้างของพีชคณิตเชิงสมาคมสมัยใหม่ และต่อมาได้รับการวางนัยทั่วไปเพิ่มเติมโดยเอมิล อาร์ติน (Emil Artin) จนกลายเป็นสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ “ทฤษฎีบทอาร์ติน-เวดเดอร์เบิร์น” (Artin–Wedderburn theorem) ซึ่งเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานที่สำคัญที่สุดของทฤษฎีริงและพีชคณิตนามธรรมสมัยใหม่

บั้นปลายชีวิตอันโดดเดี่ยว

ในช่วงปีสุดท้ายของชีวิต เวดเดอร์เบิร์นกลายเป็นคนที่ค่อนข้างโดดเดี่ยวจากสังคมรอบตัวมากขึ้นเรื่อย ๆ เขาเสียชีวิตด้วยอาการหัวใจวายเมื่อวันที่ 9 ตุลาคม ค.ศ. 1948 ที่เมืองพรินซ์ตัน รัฐนิวเจอร์ซีย์ ขณะอายุ 66 ปี เรื่องที่น่าเศร้าคือ เนื่องจากความโดดเดี่ยวในชีวิตส่วนตัวของเขา การเสียชีวิตของเวดเดอร์เบิร์นไม่มีใครล่วงรู้เป็นเวลาหลายวัน และตามความประสงค์ที่เขาระบุไว้ เอกสารงานวิจัยส่วนตัวของเขาถูกทำลายทิ้งไปทั้งหมดหลังจากที่เขาเสียชีวิต

มรดกที่ทิ้งไว้

แม้เอกสารส่วนตัวของโจเซฟ เวดเดอร์เบิร์นจะไม่หลงเหลืออยู่ แต่ผลงานทางคณิตศาสตร์ของเขายังคงเป็นเสาหลักสำคัญของพีชคณิตนามธรรมสมัยใหม่ ทฤษฎีบทของเวดเดอร์เบิร์นเกี่ยวกับริงการหารจำกัดและทฤษฎีบทอาร์ติน-เวดเดอร์เบิร์นเกี่ยวกับโครงสร้างพีชคณิตเซมิซิมเปิล ยังคงถูกสอนในหลักสูตรพีชคณิตนามธรรมระดับสูงทั่วโลกมาจนถึงปัจจุบัน และเป็นเครื่องมือพื้นฐานที่นักคณิตศาสตร์ใช้ศึกษาโครงสร้างของวงแหวนและพีชคณิตในสาขาต่าง ๆ ไม่ว่าจะเป็นทฤษฎีการแทนค่า (representation theory) หรือทฤษฎีจำนวนพีชคณิต