คูร์ท ไรเดอไมสเตอร์: ผู้เปลี่ยนปมให้กลายเป็นปัญหาที่คำนวณได้

คูร์ท แวร์เนอร์ ฟรีดริช ไรเดอไมสเตอร์ (Kurt Werner Friedrich Reidemeister) เกิดเมื่อวันที่ 13 ตุลาคม ค.ศ. 1893 ที่เมืองเบราน์ชไวก์ (Braunschweig หรือ Brunswick) ประเทศเยอรมนี เป็นบุตรคนโตในบรรดาพี่น้องสามคนของฮันส์ ไรเดอไมสเตอร์ ข้าราชการระดับสูงของรัฐบรันสวิก กับโซฟี ลังเงอร์เฟลดท์ ครอบครัวสนิทกับริชาร์ด เดเดคินด์ (Richard Dedekind) นักคณิตศาสตร์ชื่อดังซึ่งเด็กชายคูร์ทเรียกว่า “ลุง” และให้คำแนะนำแก่เขาตลอดช่วงเรียนหนังสือ ไรเดอไมสเตอร์เป็นผู้บุกเบิกทฤษฎีปมสมัยใหม่ เจ้าของ การเปลี่ยนรูปไรเดอไมสเตอร์ (Reidemeister moves) ซึ่งเป็นการเปลี่ยนรูปพื้นฐานสามแบบที่ใช้ตัดสินว่าปมสองปมเทียบเท่ากันหรือไม่

จากไฟร์บวร์คถึงฮัมบูร์ก

ไรเดอไมสเตอร์สนใจทั้งคณิตศาสตร์ ปรัชญา และประวัติศาสตร์ศิลป์มาตั้งแต่เรียนมัธยม เขาเข้ามหาวิทยาลัยไฟร์บวร์ค (Freiburg) ในปี 1911 ศึกษาหลายวิชาตั้งแต่คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี ไปจนถึงปรัชญา รวมถึงเข้าฟังบรรยายของเอ็ดมุนด์ ฮุสเซิร์ล (Edmund Husserl) ก่อนย้ายไปมาร์บวร์คและเกิททิงเงน แต่การเรียนต้องหยุดชะงักเมื่อสงครามโลกครั้งที่หนึ่งปะทุขึ้นในปี 1914 เขาถูกเกณฑ์ไปรบตลอดสี่ปีจนได้ยศร้อยโท

หลังสงคราม เขากลับไปเรียนต่อที่เกิททิงเงน สอบวุฒิครูมัธยมในปี 1920 โดยมีเอ็ดมุนด์ ลันเดา (Edmund Landau) เป็นกรรมการสอบคณิตศาสตร์ แล้วย้ายไปฮัมบูร์กเป็นผู้ช่วยของเอริช เฮคเคอ (Erich Hecke) จนได้ปริญญาเอกในปี 1921 ด้วยวิทยานิพนธ์ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต อย่างไรก็ตาม วิทยานิพนธ์ชิ้นนี้เป็นงานด้านทฤษฎีจำนวนเพียงชิ้นเดียวในบรรดาผลงาน 71 ชิ้นที่ปรากฏในคำไว้อาลัยของเขา เพราะหลังจากนั้นวิลเฮล์ม บลาชเคอ (Wilhelm Blaschke) ชักนำให้เขาหันไปสนใจเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

เวียนนา: ที่ที่ปมมาพบนักคณิตศาสตร์

ในเดือนตุลาคม ค.ศ. 1923 ไรเดอไมสเตอร์ได้รับตำแหน่งรองศาสตราจารย์ด้านเรขาคณิตที่มหาวิทยาลัยเวียนนา ตามคำแนะนำของฮันส์ ฮาห์น (Hans Hahn) ทั้งที่ยังไม่เคยทำวิทยานิพนธ์ระดับฮาบิลิเทชัน ที่นั่นเขาได้ร่วมงานกับวิลเฮล์ม เวียร์ทิงเงอร์ (Wilhelm Wirtinger) ผู้สอนวิธีหากรุปมูลฐาน (fundamental group) ของปมจากภาพฉายของมัน ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของความสนใจในทฤษฎีปมที่ติดตัวเขาไปตลอดชีวิต ช่วงเวลานี้เขายังพบกับเอลิซาเบธ วากเนอร์ (Elisabeth Wagner) ช่างภาพอาชีพซึ่งเป็นบุตรสาวของศาสนาจารย์ชาวรีกา และทั้งสองแต่งงานกันในปี 1924 นอกจากนี้เขายังเข้าร่วม วงเวียนเวียนนา (Vienna Circle) และนำกลุ่มนักคณิตศาสตร์ที่นั่นอ่านงาน Tractatus ของลุดวิก วิทเกนสไตน์ (Wittgenstein) อย่างละเอียดตลอดหนึ่งปี

การเปลี่ยนรูปไรเดอไมสเตอร์

ในปี 1925 ไรเดอไมสเตอร์ได้รับตำแหน่งศาสตราจารย์เต็มตัวที่เมืองเคอนิชส์แบร์ก (Königsberg) ที่นั่นเขาเขียนหนังสือ Knoten und Gruppen (“ปมและกรุป”, 1926) และ Knotentheorie (“ทฤษฎีปม”, 1932) เล่มหลังมีเพียง 74 หน้า แต่กลายเป็นตำราทฤษฎีปมเล่มแรกที่มีอิทธิพลอย่างมาก และถูกแปลเป็นภาษาอังกฤษในปี 1983

คำถามหลักของทฤษฎีปมคือ ถ้ามีภาพวาดปมสองภาพ เราจะรู้ได้อย่างไรว่าเป็นปมเดียวกันที่ถูกบิดหรือคลายต่างกัน หรือเป็นปมคนละปมจริง ๆ ไรเดอไมสเตอร์แสดงว่าการเปลี่ยนรูปของปมที่ซับซ้อนสามารถแยกเป็นขั้นตอนพื้นฐานเพียงสามแบบ (ร่วมกับการเลื่อนภาพบนระนาบโดยไม่เปลี่ยนจุดตัด) ได้แก่

• แบบที่ 1 การบิดหรือคลายห่วงเล็ก ๆ บนเส้นเชือกเส้นเดียว ทำให้เกิดหรือหายไปหนึ่งจุดตัด
• แบบที่ 2 การเลื่อนเส้นเชือกหนึ่งให้ซ้อนทับอีกเส้น ทำให้เกิดหรือหายไปสองจุดตัดพร้อมกัน
• แบบที่ 3 การเลื่อนเส้นเชือกหนึ่งข้ามจุดตัดของอีกสองเส้น โดยจำนวนจุดตัดไม่เปลี่ยน

ผลลัพธ์สำคัญคือ ภาพวาดปมสองภาพแทนปมที่เทียบเท่ากัน ก็ต่อเมื่อแปลงภาพหนึ่งเป็นอีกภาพได้ด้วยการเปลี่ยนรูปสามแบบนี้เป็นจำนวนจำกัดขั้นตอน นับเป็นการลดปัญหาทางเรขาคณิตสามมิติที่เข้าใจยากให้กลายเป็นปัญหาเชิงจัดหมู่ (combinatorial) บนภาพสองมิติ ตามแหล่งข้อมูลทางประวัติศาสตร์ เจมส์ อเล็กซานเดอร์ (J. W. Alexander) และการ์แลนด์ บริกส์ (G. B. Briggs) ก็ได้ผลในทำนองเดียวกันอย่างเป็นอิสระในช่วงเวลาไล่เลี่ยกัน

ประโยชน์ที่ใหญ่ที่สุดของการเปลี่ยนรูปเหล่านี้คือ การพิสูจน์ว่าสิ่งใดเป็นอินแวเรียนต์ของปม (knot invariant) กล่าวคือ ถ้านิยามปริมาณหนึ่งจากภาพวาดปม แล้วพิสูจน์ได้ว่าค่าไม่เปลี่ยนเมื่อทำการเปลี่ยนรูปทั้งสามแบบ ปริมาณนั้นก็เป็นสมบัติของปมจริง ๆ ไม่ใช่ของภาพวาด วิธีนี้ใช้ตรวจพหุนามอเล็กซานเดอร์ (Alexander polynomial, 1928) และพหุนามโจนส์ (Jones polynomial) ที่วอห์น โจนส์ (Vaughan Jones) พบในช่วงทศวรรษ 1980 ซึ่งเปิดความเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีปมกับฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ ขณะเดียวกันทฤษฎีปมก็มีส่วนเกี่ยวข้องกับงานด้านเรขาคณิตของเส้นริบบิ้นและสายดีเอ็นเอ เช่น ทฤษฎีบทของคาลูการ์เรอานู (Călugăreanu) เรื่องจำนวนเกี่ยวพัน (linking number)

ผลงานอื่นในทฤษฎีกรุปและโทพอโลยี

งานของไรเดอไมสเตอร์ไม่ได้จำกัดอยู่ที่ปม เขามีอิทธิพลต่อทฤษฎีกรุปเชิงจัดหมู่ (combinatorial group theory) โดยเฉพาะผ่านความร่วมมือกับอ็อตโต ชไรเออร์ (Otto Schreier) ซึ่งนำไปสู่ วิธีไรเดอไมสเตอร์–ชไรเออร์ (Reidemeister–Schreier method) สำหรับหาตัวแทนกรุปย่อย และในปี 1935 เขาเสนอแนวคิด ทอร์ชันไรเดอไมสเตอร์ (Reidemeister torsion) เพื่อจำแนกปริภูมิเลนส์ (lens spaces) ที่โทพอโลยีธรรมดาแยกไม่ได้ เขาเขียน Einführung in die kombinatorische Topologie (1932) และ Topologie der Polyeder und kombinatorische Topologie der Komplexe (1938) โดยมีแนวคิดตั้งต้นว่าเรขาคณิตและโทพอโลยีควรสร้างบนทฤษฎีกรุป โดยไม่ต้องใช้แนวคิดเรื่องลิมิต

ถูกขับจากเคอนิชส์แบร์ก และเส้นทางสู่ปรัชญา

ในเดือนมกราคม ค.ศ. 1933 ก่อนที่ฮิตเลอร์จะขึ้นสู่อำนาจไม่นาน นักศึกษาฝ่ายนาซีที่เคอนิชส์แบร์กก่อความวุ่นวายต่อต้านอธิการบดี ไรเดอไมสเตอร์ใช้เวลาทั้งคาบบรรยายคณิตศาสตร์อธิบายว่าพฤติกรรมของนักศึกษาเหล่านั้นไม่อาจยอมรับได้ ในเดือนเมษายนปีเดียวกันเขาถูกปลดจากตำแหน่ง ซึ่งเขารู้ข่าวจากหนังสือพิมพ์ท้องถิ่น เพื่อนร่วมวงการอย่างบลาชเคอพยายามรวบรวมรายชื่อเรียกร้องให้คืนตำแหน่ง ไรเดอไมสเตอร์ไปทำงานที่กรุงโรมช่วงหนึ่ง ก่อนได้รับตำแหน่งที่มาร์บวร์คในฤดูใบไม้ร่วงปี 1934 บาดแผลทางใจจากเหตุการณ์ครั้งนั้นอยู่กับเขาตลอดชีวิต

หลังย้ายไปมาร์บวร์ค ความสนใจของเขาโน้มไปทางปรัชญา รากฐานของคณิตศาสตร์ และประวัติศาสตร์ความคิดของกรีก เขาเขียนหนังสือเรื่องเลขคณิตของกรีก คณิตศาสตร์และตรรกะในปรัชญาของเพลโต และระบบของอริสโตเติล ทั้งยังตีพิมพ์เรียงความ บทกวี และแปลบทกวีของสเตฟาน มัลลาร์เม (Stéphane Mallarmé) เขาเป็นนักวิชาการที่คัดค้านปรัชญาแนวอัตถิภาวนิยมที่เฟื่องฟูในเยอรมนีหลังปี 1945 อย่างเปิดเผย ระหว่างปี 1948–1950 เขาไปพำนักที่สถาบันการศึกษาขั้นสูงพรินซ์ตัน (Institute for Advanced Study) ซึ่งทำให้ความสนใจด้านโทพอโลยีเชิงพีชคณิตกลับมาอีกครั้ง

บั้นปลายที่เกิททิงเงน

ในปี 1955 ไรเดอไมสเตอร์ย้ายไปมหาวิทยาลัยเกิททิงเงน ผลงานสำคัญของเขาช่วงนี้คือหนังสือ Raum und Zahl (“ปริภูมิและจำนวน”, 1957) ซึ่งแนะนำสาขาคณิตศาสตร์หลายแขนงควบคู่กับการอภิปรายเชิงปรัชญา สุขภาพของเขาและภรรยาทรุดลง เขาแยกตัวจากผู้คนมากขึ้นและใช้ชีวิตช่วงท้ายอย่างโดดเดี่ยว ผลงานทางวิชาการชิ้นสุดท้ายคือการเป็นบรรณาธิการ Hilbert-Gedenkband (1971) เล่มรำลึกถึงฮิลเบิร์ต ไรเดอไมสเตอร์เสียชีวิตเมื่อวันที่ 8 กรกฎาคม ค.ศ. 1971 ที่เมืองเกิททิงเงน ด้วยวัย 77 ปี

ทุกวันนี้ การเปลี่ยนรูปทั้งสามแบบยังเป็นสิ่งแรกที่นักศึกษาทฤษฎีปมได้เรียนรู้ ภาพที่ง่ายพอจะวาดด้วยดินสอบนกระดาษแต่ลึกพอจะรองรับทฤษฎีทั้งสาขา เป็นเครื่องยืนยันว่าความคิดที่เรียบง่ายและเข้มงวด สามารถเปลี่ยนปัญหาที่ดูเหมือนเกินจะจับต้องให้กลายเป็นสิ่งที่พิสูจน์ได้

หมายเหตุ: ลำดับเหตุการณ์และรายละเอียดบางส่วนอ้างอิงจากชีวประวัติของ MacTutor และพจนานุกรมชีวประวัตินักวิทยาศาสตร์ ซึ่งอาจต่างจากแหล่งอื่นเล็กน้อย