เบอนวา มันเดลบรอต: ผู้ค้นพบว่าธรรมชาติไม่เคยเรียบ

เบอนวา มันเดลบรอต (Benoit Mandelbrot) เกิดเมื่อวันที่ 20 พฤศจิกายน ค.ศ. 1924 ที่กรุงวอร์ซอ ประเทศโปแลนด์ ในครอบครัวที่มีประเพณีทางวิชาการ แม้บิดาจะประกอบอาชีพค้าขายเสื้อผ้า ส่วนมารดาเป็นแพทย์ ในวัยเด็กเขาได้รับการปูพื้นคณิตศาสตร์จากลุงสองคน ครอบครัวอพยพไปฝรั่งเศสในปี 1936 มันเดลบรอตเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส-อเมริกัน ผู้ได้ชื่อว่าเป็น บิดาแห่งเรขาคณิตแฟร็กทัล (fractal geometry) เจ้าของ เซตมันเดลบรอต (Mandelbrot set) และแนวคิดที่ว่ารูปทรงในธรรมชาติมีโครงสร้างซ้ำตัวเองในหลายสเกล ซึ่งเปลี่ยนวิธีที่นักวิทยาศาสตร์มองความขรุขระและความซับซ้อนไปอย่างสิ้นเชิง

ลุงผู้เป็นทั้งแรงบันดาลใจและแรงต้าน

ลุงของเขา โซเลม มันเดลบรอยต์ (Szolem Mandelbrojt) เป็นศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ที่ Collège de France และสืบตำแหน่งต่อจากฌาค อาดามาร์ (Hadamard) เมื่อครอบครัวย้ายไปฝรั่งเศส ลุงรับหน้าที่ดูแลการศึกษาของหลานชาย อิทธิพลของลุงมีทั้งด้านบวกและด้านลบ เพราะลุงชื่นชมจี. เอช. ฮาร์ดี (G. H. Hardy) และปรัชญาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ของเขา ซึ่งทำให้มันเดลบรอตรู้สึกต่อต้านและเลือกเดินทางสายที่ต่างออกไป ในปี 1945 ลุงแนะนำให้เขาอ่านบทความปี 1918 ของกัสตง จูเลีย (Gaston Julia) ว่าเป็นผลงานชั้นเยี่ยมและเต็มไปด้วยโจทย์น่าสนใจ แต่หนุ่มมันเดลบรอตไม่ชอบ เขากลับมาที่งานชิ้นนี้อีกครั้งในอีกสามสิบปีต่อมา หลังจากเดินทางผ่านวิทยาศาสตร์หลายสาขา

วัยเรียนท่ามกลางสงคราม

ก่อนสงครามโลกครั้งที่สอง เขาเรียนที่ลีเซโรแล็ง (Lycée Rolin) ในปารีส แต่เมื่อสงครามเริ่มต้น ครอบครัวหนีไปอยู่ที่เมืองตูล (Tulle) ในภาคกลางของฝรั่งเศส ช่วงนั้นเขาหวาดกลัวต่อชีวิตตนเองอยู่หลายครั้ง และต้องห่างจากโรงเรียน ส่งผลให้เขาเรียนรู้ด้วยตนเองเป็นส่วนใหญ่ ต่อมาเขาเห็นว่าการศึกษานอกกรอบนี้ช่วยให้เขาพัฒนาความเข้าใจทางเรขาคณิตอย่างโดดเด่น และคิดแตกต่างจากวิธีมาตรฐาน

เขาสอบเข้า École Normale ในปารีส แต่อยู่เพียงหนึ่งวันก็ลาออก แล้วสอบเข้า École Polytechnique ได้ด้วยผลคะแนนยอดเยี่ยม และเริ่มเรียนในปี 1944 ที่นั่นเขาได้เรียนกับ ปอล เลวี (Paul Lévy) นักความน่าจะเป็นชื่อดังที่มีอิทธิพลต่อเขาอย่างมาก หลังจบ เขาไปเยือนสถาบันเทคโนโลยีแคลิฟอร์เนีย (Caltech) ได้ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยปารีส และไปเป็นนักวิจัยที่สถาบันการศึกษาขั้นสูงพรินซ์ตัน ภายใต้การสนับสนุนของจอห์น ฟอน นอยมันน์ (John von Neumann)

ลมใหม่ที่ไอบีเอ็ม

มันเดลบรอตกลับไปฝรั่งเศสในปี 1955 ทำงานที่ศูนย์วิจัยวิทยาศาสตร์แห่งชาติ (CNRS) และแต่งงานกับอาเลียต คาแกน (Aliette Kagan) แต่เขาไม่ชอบบรรยากาศที่คณิตศาสตร์ฝรั่งเศสถูกครอบงำโดยแนวทางของกลุ่มบูร์บากิ (Bourbaki) ในปี 1958 เขาย้ายไปสหรัฐอเมริกาอย่างถาวร และเข้าทำงานที่ไอบีเอ็ม (IBM) ศูนย์วิจัยทอมัส เจ. วัตสัน (Thomas J. Watson Research Center) ที่ยอร์กทาวน์ไฮต์ส รัฐนิวยอร์ก เขาเล่าว่าเสรีภาพในการเลือกหัวข้อวิจัยที่ไอบีเอ็มเป็นสิ่งที่ตำแหน่งในมหาวิทยาลัยไม่อาจให้ได้ หลังจากนั้นเขาทำงานที่มหาวิทยาลัยเยล (Yale) ในตำแหน่งศาสตราจารย์สเตอร์ลิง (Sterling Professor) และมีตำแหน่งรับเชิญในสถาบันอื่นอีกหลายแห่ง ทั้งทางวิศวกรรม เศรษฐศาสตร์ และสรีรวิทยา

ช่วงนี้เองที่เขาเลือกอย่างตั้งใจที่จะทำงานข้ามหลายสาขา เช่น เศรษฐศาสตร์ ภาษาศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ และสถิติ เขาศึกษาความผันผวนของราคาสินค้า เช่น ราคาฝ้าย โดยใช้การแจกแจงเสถียรแบบเลวี (Lévy stable distributions) ซึ่งสืบทอดแนวคิดมาจากอาจารย์ของเขา

ชายฝั่งอังกฤษยาวเท่าไร

บทความที่เป็นจุดเปลี่ยนคือ How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension ตีพิมพ์ในวารสาร Science ปี 1967 บทความนี้ต่อยอดจากข้อมูลของ ลูอิส ฟรายย์ ริชาร์ดสัน (Lewis Fry Richardson) นักอุตุนิยมวิทยาและนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ที่พบว่าความยาวของแนวชายแดนหรือชายฝั่งที่วัดได้ขึ้นอยู่กับความยาวของไม้บรรทัดที่ใช้ ยิ่งใช้ไม้บรรทัดสั้นลง ความยาวที่วัดได้ก็ยิ่งเพิ่มขึ้นโดยไม่หยุดที่ค่าใดค่าหนึ่ง ริชาร์ดสันเสียชีวิตไม่นานหลังจากนั้น มันเดลบรอตจึงเป็นผู้นำข้อค้นพบนี้ไปเผยแพร่สู่วงกว้าง

สิ่งที่มันเดลบรอตมองเห็นคือ ความชันของความสัมพันธ์นี้คือมิติ แต่ไม่ใช่มิติที่เป็นจำนวนเต็ม เขาเสนอว่าชายฝั่งมีมิติ เศษส่วน (fractional dimension) อยู่ระหว่างเส้นเรียบ (มิติ 1) และพื้นผิว (มิติ 2) และประมาณว่าชายฝั่งด้านตะวันตกของอังกฤษมีมิติประมาณ 1.25 แนวคิดนี้เชื่อมกับมิติเฮาส์ดอร์ฟ (Hausdorff dimension) และงานของเบซิโควิตช์ (Besicovitch) ที่นักคณิตศาสตร์รู้จักมาก่อน แต่มันเดลบรอตเป็นผู้นำไปใช้กับโลกจริง

คำว่า “แฟร็กทัล” และเซตมันเดลบรอต

ในปี 1975 เขาเสนอคำว่า แฟร็กทัล (fractal) ในหนังสือภาษาฝรั่งเศส Les objets fractals และขยายความในหนังสือ The Fractal Geometry of Nature (1982) ซึ่งกลายเป็นหนังสือที่มีอิทธิพลอย่างกว้างขวาง เขาชี้ว่าเรขาคณิตแบบยุคลิดที่เป็นเส้นตรง วงกลม และพื้นผิวเรียบ อธิบายก้อนเมฆ เทือกเขา ชายฝั่ง และกิ่งไม้ได้ไม่ดี ขณะที่รูปทรงเหล่านี้มีความขรุขระซ้ำตัวเองในหลายสเกล

ในปี 1980 ที่ศูนย์วิจัยของไอบีเอ็ม มันเดลบรอตใช้คอมพิวเตอร์สร้างภาพของเซตที่ภายหลังใช้ชื่อเขา เซตมันเดลบรอต นิยามได้อย่างง่ายคือ นำจำนวนเชิงซ้อน c มาวนซ้ำสูตร z → z² + c โดยเริ่มจาก z = 0 หากค่าที่ได้ไม่พุ่งออกไปไกลอย่างไม่มีขอบเขต c นั้นก็อยู่ในเซต ผลลัพธ์คือรูปร่างที่ขอบมีรายละเอียดซับซ้อนไม่รู้จบ ไม่ว่าจะขยายเข้าไปเท่าไร

รากทางคณิตศาสตร์ของแนวคิดนี้ย้อนกลับไปถึงงานของจูเลียและ ปีแยร์ ฟาตู (Pierre Fatou) ที่ศึกษาการวนซ้ำของฟังก์ชันเชิงซ้อนในช่วงปลายทศวรรษ 1910 ซึ่งเป็นงานที่ถูกลืมไปหลายสิบปี จนกระทั่งคอมพิวเตอร์กราฟิกทำให้มันเดลบรอตมองเห็นความงามของมัน บทความของอเล็กซานเดอร์ ดิวด์นีย์ (A. K. Dewdney) ใน Scientific American ปี 1985 ทำให้ภาพนี้เป็นที่รู้จักของคนทั่วไป

เกียรติยศและมรดก

มันเดลบรอตได้รับเกียรติมากมาย เช่น เหรียญบาร์นาร์ด (Barnard Medal, 1985) เหรียญแฟรงคลิน (Franklin Medal, 1986) เหรียญเลฌียงดอเนอร์ (Légion d’Honneur, 1989) รางวัลวูล์ฟสาขาฟิสิกส์ (Wolf Prize, 1993) และรางวัลญี่ปุ่น (Japan Prize, 2003) ในช่วงท้ายของชีวิต เขายังเขียนเรื่องความไม่เป็นไปตามทฤษฎีดั้งเดิมของตลาดการเงิน และชี้ให้เห็นว่าราคาหุ้นมีความผันผวนรุนแรงกว่าที่แบบจำลองแบบเรียบคาดไว้

เบอนวา มันเดลบรอตเสียชีวิตเมื่อวันที่ 14 ตุลาคม ค.ศ. 2010 ที่เมืองเคมบริดจ์ รัฐแมสซาชูเซตส์ จากมะเร็งตับอ่อน ด้วยวัย 85 ปี แนวคิดเรื่องมิติเศษส่วนของเขายังใช้กันตั้งแต่การวิเคราะห์ตลาดการเงิน การออกแบบเสาอากาศ ไปจนถึงภาพยนตร์แอนิเมชันและเกม สิ่งที่เขาทิ้งไว้ไม่ใช่เพียงภาพสวยงาม แต่คือข้อเสนอว่าโลกจริงขรุขระโดยธรรมชาติ และความขรุขระนั้นมีกฎที่วัดและศึกษาได้

หมายเหตุ: รายละเอียดบางส่วน เช่น ปีที่ตีพิมพ์หนังสือ อาจต่างกันเล็กน้อยตามแหล่งข้อมูล