เอมีล มาติเยอ: ผู้ค้นพบกรุ๊ปเชิงเดี่ยวแบบสปอราดิกกลุ่มแรกของโลก

ในทฤษฎีกรุ๊ปมีข้อเท็จจริงข้อหนึ่งที่ทำให้นักคณิตศาสตร์ทึ่งมาโดยตลอด นั่นคือ กรุ๊ปจำกัดเชิงเดี่ยวแทบทั้งหมดจัดเข้าตระกูลที่เป็นระเบียบได้ มีเพียง 26 กลุ่มที่ไม่เข้าตระกูลใดเลยและถูกเรียกว่า “สปอราดิก” (sporadic) และห้ากลุ่มแรกของ 26 กลุ่มนี้ถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้เสียชีวิตเมื่อวันที่ 19 ตุลาคม ค.ศ. 1890 ที่เมืองน็องซี ผู้นั้นคือ เอมีล เลโอนาร์ มาติเยอ (Émile Léonard Mathieu) ซึ่งเสียชีวิตด้วยวัย 55 ปี

ชีวิตช่วงต้นและเส้นทางวิชาการ

มาติเยอเกิดเมื่อวันที่ 15 พฤษภาคม ค.ศ. 1835 ที่เมืองเมตซ์ ประเทศฝรั่งเศส ครอบครัวเป็นข้าราชการระดับล่าง บิดาเป็นแคชเชียร์ของสำนักงานภาษีประจำเมือง ส่วนลุงฝั่งมารดาเป็นพันเอกปืนใหญ่ที่เคยเรียนเอกอลโปลีเทคนิก เขาเติบโตที่เมืองเมตซ์และเรียนที่ลีเซเมตซ์ ก่อนเข้าเรียนที่เอกอลโปลีเทคนิกในปี ค.ศ. 1854 และศึกษาต่อที่มหาวิทยาลัยปารีสในปี ค.ศ. 1857

อาชีพของเขามีช่วงสั้นๆ ที่ปารีสในปี ค.ศ. 1867-1868 จากนั้นย้ายไปมหาวิทยาลัยที่เมืองเบอซ็องซง (1869-1874) และไปประจำที่เมืองน็องซีตั้งแต่ปี ค.ศ. 1874 จนสิ้นชีวิต แม้เขาจะแสดงแววอัจฉริยะตั้งแต่ยังหนุ่ม แต่เขาไม่เคยได้เก้าอี้ศาสตราจารย์ในปารีสหรือได้รับเลือกเข้าราชบัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์ ซึ่งนักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์มักอธิบายว่าอาจเกี่ยวข้องกับนิสัยขี้อายและเก็บตัวของเขา ถึงกระนั้น เพื่อนร่วมงานก็รักและเคารพเขามาก

กรุ๊ปมาติเยอ

ผลงานที่ทำให้ชื่อของมาติเยออยู่ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์คือการค้นพบกรุ๊ปการเรียงสับเปลี่ยนที่มีสมบัติ “ทรานสิทีฟหลายชั้น” (multiply transitive) ในเอกสารปี ค.ศ. 1861 เขาแสดงการมีอยู่ของกรุ๊ปที่เป็นแบบสามชั้นในตระกูลอนันต์ และกล่าวว่าด้วยขั้นตอนวิธีที่เขาพบ เขาสามารถสร้างกรุ๊ปแบบห้าชั้นสำหรับ 12 วัตถุและ 24 วัตถุได้ ซึ่งคือกรุ๊ปที่ปัจจุบันเรียกว่า M12 และ M24 แต่เขาแสดงตัวอย่างของกรุ๊ปเหล่านั้นอย่างเต็มรูปแบบในปี ค.ศ. 1873

เมื่อรวมงานของเขาในปี ค.ศ. 1860 และ 1873 ทั้งหมด จะได้กรุ๊ป 5 กลุ่มที่ใช้ชื่อเขา คือ M11, M12, M22, M23 และ M24 กรุ๊ป M12 มีสมาชิก 95,040 ตัว ส่วน M24 มีสมาชิก 244,823,040 ตัว กรุ๊ปเหล่านี้เป็นกรุ๊ปเชิงเดี่ยว (simple group) ที่ไม่อาจแยกให้เล็กลงได้ และไม่ได้เป็นสมาชิกของตระกูลอนันต์ที่รู้จักกันในเวลานั้น เช่น กรุ๊ปสลับ (alternating groups) หรือกรุ๊ปประเภทลี จึงถือเป็น กรุ๊ปเชิงเดี่ยวแบบสปอราดิกกลุ่มแรกสุด และยังเป็นสมาชิกชุดเดียวของกลุ่มนี้อยู่นานเกือบ 90 ปี จนกระทั่งเซวียนโก ยันโก (Zvonimir Janko) พบกรุ๊ปสปอราดิกกลุ่มถัดไปในปี ค.ศ. 1965

ความสำคัญของกรุ๊ปมาติเยอไม่ได้หยุดอยู่ที่การเป็นกรุ๊ปที่แปลก M24 เกี่ยวข้องกับรหัสโกเลย์ (Golay code) ซึ่งใช้ในการแก้ไขข้อผิดพลาดของข้อมูล และเกี่ยวพันกับโครงสร้างของแลตทิซลีช (Leech lattice) และกรุ๊ปคอนเวย์ในเวลาต่อมา เมื่อนักคณิตศาสตร์ทำโครงการจำแนกกรุ๊ปจำกัดเชิงเดี่ยวทั้งหมดให้เสร็จในครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 กรุ๊ปมาติเยอก็คือ 5 ใน 26 ข้อยกเว้นที่ยืนยันว่าตระกูลต่างๆ ยังมีสมาชิกที่นอกกรอบอยู่จริง

ฟังก์ชันมาติเยอและฟิสิกส์คณิตศาสตร์

อีกครึ่งหนึ่งของมรดกของมาติเยอมาจากฟิสิกส์คณิตศาสตร์ เขาศึกษาการสั่นของเยื่อที่มีรูปร่างเป็นวงรี และได้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ปัจจุบันเรียกว่า สมการมาติเยอ (Mathieu equation) ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชันคาบ คำตอบของสมการนี้เรียกว่า ฟังก์ชันมาติเยอ (Mathieu functions)

สมการแบบนี้ปรากฏในปัญหาหลายแบบที่ดูต่างกันมาก เช่น การสั่นของแผ่นกลองรูปวงรี ระบบที่ถูกกระตุ้นเป็นจังหวะเป็นคาบ เช่น ลูกตุ้มที่จุดแขวนสั่นขึ้นลง และกับดักไอออนแบบควอดรูโพล (quadrupole ion trap) ที่ใช้ในเครื่องมือวิเคราะห์ทางเคมี

มาติเยอยังศึกษาเรื่องแคปิลลารีของของไหล ทฤษฎีศักย์ (potential theory) ไฟฟ้าพลศาสตร์ และความยืดหยุ่นของของแข็ง เขาวางแผนเขียนชุดหนังสือ “Traité de physique mathématique” ถึง 11 เล่ม แต่ตีพิมพ์ได้ 8 เล่มก่อนเสียชีวิต ส่วนเล่มที่เหลือที่คิดไว้จะว่าด้วยทัศนศาสตร์ ทฤษฎีก๊าซ และอะคูสติก

วาระสุดท้าย

เรื่องที่ผู้เขียนชีวประวัติของเขาเล่าไว้ทำให้เห็นนิสัยของเขาชัดเจนว่า ในเดือนกรกฎาคม ค.ศ. 1890 ทั้งที่โรคร้ายเข้าจู่โจมเขาแล้ว มาติเยอก็ยังพยายามปิดบังอาการป่วยจากเพื่อนร่วมงาน เพราะไม่ต้องการให้ผู้อื่นแบกภาระการคุมสอบแทน และแม้ในเดือนกันยายนขณะนอนป่วยหนัก ความกังวลเรื่องการสอบเดือนตุลาคมก็ยังวนอยู่ในใจเขา

มาติเยอเสียชีวิตเมื่อวันที่ 19 ตุลาคม ค.ศ. 1890 ที่เมืองน็องซี เขาไม่ได้เห็นว่ากรุ๊ปที่ตนค้นพบจะกลายเป็นประตูสู่โลกที่ลึกซึ้งของกรุ๊ปจำกัดเชิงเดี่ยว แต่ชื่อของเขาก็อยู่ในทุกตำราทฤษฎีกรุ๊ปที่พูดถึงกรุ๊ปสปอราดิก