Richard V. Kadison: ผู้แบกรับวงการทฤษฎีตัวดำเนินการไว้เพียงลำพังในทศวรรษ 1950

มีนักคณิตศาสตร์ไม่กี่คนที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้ที่ “แบกรับวงการวิชาการทั้งสาขาไว้เกือบเพียงลำพัง” ในช่วงเวลาหนึ่งของประวัติศาสตร์ Richard V. Kadison คือหนึ่งในนั้น เขาคือนักคณิตศาสตร์อเมริกันผู้เป็นเสาหลักของทฤษฎีพีชคณิตตัวดำเนินการ (operator algebras) ในทศวรรษ 1950 และเป็นผู้บุกเบิกโจทย์ที่ต่อมารู้จักกันในชื่อ Kadison–Singer problem ซึ่งค้างคาในวงการคณิตศาสตร์นานหลายทศวรรษก่อนจะถูกไขได้สำเร็จในปี ค.ศ. 2013

เด็กหนุ่มนักยิมนาสติกแห่งนครนิวยอร์ก

Richard Vincent Kadison เกิดเมื่อวันที่ 25 กรกฎาคม ค.ศ. 1925 ที่นครนิวยอร์ก สหรัฐอเมริกา บิดาของเขา David Edward Kadison เป็นบุตรของผู้อพยพชาวยิวที่เปลี่ยนนามสกุลจาก Kadushin เป็น Kadison ก่อนแต่งงาน ส่วนมารดา Rae Siegel เกิดในรัสเซียและอพยพมาสหรัฐฯ ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1902 Kadison เข้าเรียนที่ Bronx High School of Science โรงเรียนมัธยมชื่อดังด้านวิทยาศาสตร์ของนิวยอร์ก และสำเร็จการศึกษาในปี ค.ศ. 1942 ก่อนจะศึกษาต่อที่ City College of New York

นอกเหนือจากความสามารถทางคณิตศาสตร์ Kadison ยังเป็นนักยิมนาสติกระดับแนวหน้า มีความเชี่ยวชาญพิเศษในห่วงบิน (flying rings) จนถึงระดับมาตรฐานโอลิมปิก ระหว่างสงครามโลกครั้งที่สอง เขารับราชการเป็นเจ้าหน้าที่กองทัพเรือพาณิชย์ (Merchant Marines) ปฏิบัติภารกิจทั้งในยุโรปและแปซิฟิก หลังสงครามสิ้นสุด เขาศึกษาต่อระดับบัณฑิตศึกษาที่มหาวิทยาลัย Chicago และสำเร็จปริญญาเอกในปี ค.ศ. 1950 ภายใต้การดูแลของ Marshall H. Stone นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียง

ผู้แบกรับวงการพีชคณิตตัวดำเนินการไว้เกือบเพียงลำพัง

ในปี ค.ศ. 1952 Kadison เข้าร่วมคณะที่มหาวิทยาลัย Columbia และเริ่มต้นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์รุ่นหลังบรรยายว่าเป็นการ “แบกรับวงการทฤษฎีพีชคณิตตัวดำเนินการไว้เกือบเพียงลำพัง” ตลอดทศวรรษ 1950 สาขานี้มีรากฐานย้อนไปถึงงานวิจัยของ John von Neumann และ Francis Murray ในช่วงทศวรรษ 1930 ที่เชื่อมโยงทฤษฎีตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเข้ากับกลศาสตร์ควอนตัม แต่ในช่วงหลังสงครามที่หลายสาขาคณิตศาสตร์ได้รับความสนใจน้อยลง Kadison กลับเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ไม่กี่คนที่ยังคงทุ่มเทวิจัยในสาขานี้ต่อไปอย่างจริงจัง

ในปี ค.ศ. 1957 เขาย้ายไปสอนที่มหาวิทยาลัย Pennsylvania ในตำแหน่งศาสตราจารย์ Gustave C. Kuemmerle ซึ่งเป็นตำแหน่งที่เขาดำรงอยู่ตลอดชีวิตการทำงานที่เหลือ วิสัยทัศน์และความทุ่มเทของเขาทำให้ภาควิชาคณิตศาสตร์ของ Pennsylvania กลายเป็นศูนย์กลางสำคัญด้านพีชคณิตตัวดำเนินการของโลก เขายังเป็นที่ปรึกษาวิทยานิพนธ์ให้กับนักศึกษาปริญญาเอกที่มีชื่อเสียงหลายคน ทั้ง James Glimm, Richard Lashof, Marc Rieffel, Mikael Rørdam และ Erling Størmer จนถึงปัจจุบันเขามี “ลูกหลานทางวิชาการ” ที่สืบเชื้อสายทางวิทยานิพนธ์มากกว่า 400 คน

จาก Kadison Transitivity Theorem สู่ K-Theory

ผลงานวิจัยของ Kadison ครอบคลุมแทบทุกแง่มุมของทฤษฎีพีชคณิตตัวดำเนินการ หนึ่งในผลงานสำคัญคือ ทฤษฎีบทสกรรมกริยาของ Kadison (Kadison transitivity theorem) ซึ่งเป็นเครื่องมือพื้นฐานในการศึกษาโครงสร้างของพีชคณิต C*-algebra นอกจากนี้เขายังมีผลงานสำคัญด้าน K-theory ของพีชคณิตตัวดำเนินการ ซึ่งเป็นสาขาที่ศึกษาโครงสร้างเชิงพีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิเวกเตอร์และมอดูลในบริบทของพีชคณิตตัวดำเนินการ

ตำราคลาสสิกสองเล่มที่เขาเขียนร่วมกับ John Ringrose เรื่อง Fundamentals of the Theory of Operator Algebras ยังคงเป็นตำราอ้างอิงมาตรฐานที่นักคณิตศาสตร์รุ่นหลังใช้ศึกษาสาขานี้มาจนถึงปัจจุบัน

Kadison–Singer Problem: โจทย์ที่ค้างคาหกทศวรรษ

ผลงานที่ทำให้ชื่อของ Kadison เป็นที่รู้จักไปไกลเกินกว่าวงการพีชคณิตตัวดำเนินการคือ Kadison–Singer problem ที่เขาเสนอร่วมกับ Isadore Singer ในปี ค.ศ. 1959 โจทย์นี้ตั้งคำถามเกี่ยวกับความเป็นเอกลักษณ์ของการขยายสถานะบริสุทธิ์ (pure state) จากพีชคณิตย่อยไปสู่พีชคณิตเต็มรูปแบบของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบนปริภูมิฮิลเบิร์ต ซึ่งมีรากฐานเชื่อมโยงกับงานของ Paul Dirac ในกลศาสตร์ควอนตัม

โจทย์นี้กลายเป็นหนึ่งในปัญหาที่ท้าทายที่สุดในวงการคณิตศาสตร์ เนื่องจากมีความเชื่อมโยงลึกซึ้งกับปัญหาในสาขาอื่นๆ อีกมากมาย ทั้งทฤษฎีเฟรม (frame theory) การประมวลผลสัญญาณ และทฤษฎีกราฟ จนกระทั่งในปี ค.ศ. 2013 นักคณิตศาสตร์ Adam Marcus, Daniel Spielman และ Nikhil Srivastava สามารถไขปัญหานี้ได้สำเร็จ โดยแสดงให้เห็นว่าคำตอบคือ “ใช่” นั่นคือการขยายดังกล่าวมีลักษณะเป็นเอกลักษณ์จริง ซึ่งการค้นพบนี้สร้างความฮือฮาอย่างมากในวงการคณิตศาสตร์ เนื่องจากเป็นการแก้โจทย์ที่ค้างคามานานกว่าครึ่งศตวรรษ

เกียรติยศและชีวิตครอบครัว

Kadison แต่งงานกับ Karen Holm ในปี ค.ศ. 1956 และมีบุตรชายหนึ่งคนคือ Lars Kadison ซึ่งต่อมาก็กลายเป็นนักคณิตศาสตร์เช่นเดียวกับบิดา ตลอดชีวิตการทำงาน Kadison ได้รับเกียรติยศมากมาย ทั้งทุน Guggenheim Fellowship ในปี ค.ศ. 1969 การเป็นสมาชิกของ US National Academy of Sciences ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1996 สมาชิกต่างชาติของ Royal Danish Academy of Sciences and Letters และ Norwegian Academy of Science and Letters รวมถึงรางวัล Leroy P. Steele Prize for Lifetime Achievement จาก American Mathematical Society ในปี ค.ศ. 1999

มรดกที่ยังคงเติบโตต่อไป

Richard Kadison เสียชีวิตเมื่อวันที่ 22 สิงหาคม ค.ศ. 2018 ด้วยวัย 93 ปี โดยยังคงทำงานสอนอยู่ที่มหาวิทยาลัย Pennsylvania จนถึงวาระสุดท้าย และวางแผนจะสอนวิชาต่อในภาคเรียนถัดไปก่อนที่จะจากไป ตลอดชีวิตของเขาเป็นภาพสะท้อนของนักคณิตศาสตร์ผู้ไม่เพียงสร้างผลงานวิจัยอันทรงคุณค่าด้วยตนเอง แต่ยังทุ่มเทสร้างและสนับสนุนคนรุ่นใหม่ให้เติบโตในสาขาวิชาที่เขารักตลอดชีวิต ทำให้ทฤษฎีพีชคณิตตัวดำเนินการเติบโตจากสาขาที่แทบไม่มีใครสนใจ กลายเป็นหนึ่งในสาขาสำคัญของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ที่ยังคงเชื่อมโยงกับฟิสิกส์ควอนตัมและคณิตศาสตร์ประยุกต์อื่นๆ มาจนถึงทุกวันนี้